index

ויקי מתמטיקה

מה יש כאן

ויקי הפניה לשלושה קורסים מסמסטר ב’. כל קורס כולל דפי הגדרה, הוכחה מפורטת של כל משפט, וקישורים בין נושאים.

---

הקורסים

אינפי 2

קורס ניתוח מתמטי המשכי. עוסק בכלים לניתוח עמוק של פונקציות — כמה “קמורה” הפונקציה, עד כמה ניתן לקרב אותה בפולינום, ומתי טורים אינסוניים מתכנסים.

נושאים מרכזיים:

• קמירות וקעירות — שקילויות דרך נגזרות, למת המיתרים, אי שוויון ינסן
• כלל לופיטל — גבולות $0/0$ ו-$\infty /\infty$ דרך נגזרות
• פולינום טיילור — קירוב פולינומי, שארית בצורת לגרנז’, שאלות התכנסות
• טורים — דאלמבר, קושי, עיבוי, לייבניץ ועוד
• טורי חזקות — רדיוס התכנסות, גזירה איבר-איבר

---

אלגברה לינארית

קורס העוסק בשאלה מרכזית: מתי ניתן לבחור בסיס שבו אופרטור לינארי פועל בצורה הכי פשוטה (כפל בסקלרים)? זהו הלכסון. כשלכסון אינו אפשרי — פונים לשילוש.

נושאים מרכזיים:

• ערכים עצמיים — פולינום אופייני, ריבויים אלגבריים וגיאומטריים
• לכסון — תנאים שקולים: בסיס ו”ע, סכום ישר, שוויון ריבויים
• שילוש — כל מטריצה מעל $\mathbb{C}$ ניתנת לשילוש
• פולינום מינימלי ו-משפט קיילי המילטון — כל מטריצה מאפסת את הפולינום האופייני שלה
• חוג הפולינומים — חלוקה עם שארית, ממג”ב, פריקות יחידה, אינטרפולציה
• פירוק ישר ו-הטלות מקביליות — תת-מרחבים שמורים, הטלות כפולינומים, משפט הפירוק הפרימרי

---

תורת הקבוצות

קורס הבונה את המספרים הממשיים מאפס — מאקסיומות קבוצות עד $\mathbb{R}$. הכלי המרכזי הוא חתכי דדקינד: כל “חור” ב-$\mathbb{Q}$ (כמו $\sqrt{2}$) מוגדר על ידי חלוקה של הרציונליים לשניים.

נושאים מרכזיים:

• אקסיומות ZF — בניית כל המתמטיקה מקבוצות; פרדוקס ראסל
• קבוצות סדורות — צפיפות, שלמות, קצוות
• חתכי דדקינד — בניית המספרים הממשיים כהשלמת $\mathbb{Q}$; קיום ויחידות
• משפט קנטור — כל שתי קבוצות ספירות צפופות ללא קצוות איזומורפיות (back-and-forth)
• סדרים טובים — אינדוקציה טרנסינסופית, השוואת סדרים
• סודרים — נציגים קנוניים לסדרים טובים; טרנזיטיביות + $\in$-סדר טוב; בניית הסודר הבא
• אקסיומת ההחלפה + השוואת סודרים + Ord סדורה היטב → כל סדר טוב מיוצג יחידתית

---

אינדקס מלא לפי נושא

אינפי 2

הגדרות: גזירות · נקודת קיצון · קמירות וקעירות · נקודת פיתול · פולינום מקלורן וטיילור · התכנסות טורים · אריתמטיקה של טורים · תכונות אלמנטריות · טור חזקות

משפטים קלאסיים: משפט פרמה · משפט לגרנז · משפט קושי · כלל לופיטל · משפט טיילור · שארית בצורת לגרנז’ · למת המיתרים · אי שוויון ינסן

מבחני התכנסות: קריטריון קושי · תנאי הכרחי להתכנסות טורים · מבחן ההשוואה הראשון · מבחן ההשוואה השני · מבחן ההשוואה הגבולי · מבחן ההשוואה למנות הסדרה · מבחן קושי להתכנסות טורים חיוביים · מבחן המנה של דאלמבר (בניסוח גבולי) · מבחן העיבוי · מבחן לייבניץ · אם טור מתכנס בהחלט אז הוא מתכנס · הטור ההרמוני מתבדר

טורי חזקות: משפט קושי-הדמרד · רדיוס ההתכנסות לפי מבחן המנה · לטור הנגזרות אותו רדיוס התכנסות · גזירה איבר איבר של טורי חזקות · יחידות ייצוג כטור חזקות · שינוי סדר הסכימה של רימן

הגדרות נוספות: פונקציה אנליטית

טענות עזר: פונקציה קמורה אםם הנגזרת מונוטונית עולה · שיפוע מיתר פנימי הוא ממוצע משוקלל · קמירות של פונקציה רציפה בקטע סגור · נגזרות חד צדדיות ורציפות של פונקציה קמורה · בפונקציה קמורה הישר המשיק לפונקציה נמצא מתחת לגרף · סיווג קיצון לפי נגזרות מסדר גבוה · שארית של פולינום מקלורן שואפת לאפס מהר · האם פולינום מקלורן גורר גזירות · פולינום טיילור לא מתכנס נקודתית לפונקציה בהכרח · אם הנגזרות חסומות במשותף פולינומי טיילור מתכנסים נקודתית לפונקציה · החלפת משתנים בגבולות · הכללת משפט קושי · טור מתכנס אםם כל זנב שלו מתכנס · התכנסות בהחלט בתחום הפנימי של טור חזקות · חסם לשגיאת גזירת חזקה

---

אלגברה לינארית

הגדרות: ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים · הפולינום האופייני · ריבוי אלגברי וריבוי גאומטרי · לכסון · מטריצה אלכסונית · דמיון מטריצות · שילושים · הפולינום המינימלי · משפט קיילי המילטון · הצבת אופרטור בפולינום · חוגים · כפל פולינומים · מחלק משותף גדול ביותר של פולינומים · סכום ישר · תת מרחב T-שמור · הטלה מקבילית

טענות ומשפטים: וקטורים עצמיים מערכים עצמיים שונים בלתי תלויים ליניארית · הריבוי האלגברי גדול מהריבוי הגאומטרי · מטריצה לכסינה אםם הריבוי הגאומטרי שווה לריבוי האלגברי · אם קיימים ערכים עצמיים שונים כגודל הבסיס אז האופרטור לכסין · אופרטור לכסין אםם קיים בסיס וקטורים עצמיים · אופרטור לכסין אםם המרחבים העצמיים בסכום ישר · אופרטור לכסין אםם צירוף הטלות מקביליות · אופרטורים ליניאריים ומטריצות דומות · למטריצות דומות יש את אותו הפולינום האופייני · הפולינום האופייני הוא מתוקן וממעלת המימד · חלוקת פולינומים עם שארית · אלגוריתם אוקלידס למציאת מחלק משותף מקסימלי · פריקות יחידה בחוג הפולינומים · משפט השורשים הרציונלים · אינטרפולציה פולינומילית · משפט הפירוק הפרימרי · תנאים שקולים לסכום ישר · הפולינום המינימלי מחלק את האופייני ומחלקים זה את חזקת השני · לפולינום האופייני והמינימלי יש את אותם גורמים אי-פריקים

---

תורת הקבוצות

הגדרות: העולם של הקבוצות · תכונות של פונקציות · קבוצה סדורה קווית · שלמות דדקינד · חתך דדקינד · המספרים הממשיים · איזומורפיזם · קבוצה טרנזיטיבית · סודר

משפטים: קבוצת החתכים היא סדר שלם · השלמות דדקינד של קבוצות איזומורפיות הן איזומורפיות · משפט קנטור · עקרון הסדר הטוב · איזומורפיזם ועוצמות · איחוד סודר עם האיבר שלו הוא סודר · רישא של סודר היא סודר · תת-קבוצה ממש של סודר היא איבר בו · סודר אינו שייך לעצמו · כל שני סודרים ניתנים להשוואה · מחלקת הסודרים סדורה היטב · כל קבוצה סדורה היטב איזומורפית לסודר יחיד

הגדרות נוספות: פונקציית מחלקה