משפט לגרנז

משפט לגרנז’ (MVT)

המשפט

תהי $f$ פונקציה רציפה בקטע הסגור $[a,b]$ וגזירה בקטע הפתוח $(a,b)$. אז קיימת נקודה $c\in (a,b)$ כך ש:

$$f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

פרשנות גיאומטרית: קיימת נקודה שבה המשיק לגרף מקביל למיתר המחבר את שתי נקודות הקצה.

הוכחה

נגדיר פונקציית עזר:

$$h(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$$

הפונקציה $h$ היא הפרש בין $f$ לבין הישר המחבר $(a,f(a))$ ו-$(b,f(b))$. נבדוק שהיא מקיימת את תנאי משפט רול:

• $h$ רציפה ב-$[a,b]$ (כצירוף ליניארי של פונקציות רציפות).
• $h$ גזירה ב-$(a,b)$.
• $h(a)=f(a)-0=f(a)$.
• $h(b)=f(b)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a)=f(b)-(f(b)-f(a))=f(a)$.

לפיכך $h(a)=h(b)$, ומשפט רול מבטיח קיום $c\in (a,b)$ עם $h^{\prime }(c)=0$:

$$h^{\prime }(c)=f^{\prime }(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$$

כלומר $f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$. $■$

מסקנות

1. תנאי לקבועה: אם $f^{\prime }(x)=0$ לכל $x\in (a,b)$ אז $f$ קבועה ב-$[a,b]$.
2. מונוטוניות: אם $f^{\prime }(x)\ge 0$ ב-$(a,b)$ אז $f$ מונוטונית עולה. אם $f^{\prime }(x)>0$ אז עולה ממש.
3. חסם על שינוי: $|f(b)-f(a)|\le M\cdot |b-a|$ אם $|f^{\prime }(x)|\le M$.

ראה גם

• משפט קושי
• כלל לופיטל
• שארית בצורת לגרנז’