חסם לשגיאת גזירת חזקה

הטענה

לכל $n\ge 2$ ולכל $x_0,h\in \mathbb{R}$ מתקיים:

$$\left|\frac{(x_0+h{)}^n-x_0^n}{h}-n{x}_0^{n-1}\right|\le |h|\cdot n(n-1){\left(|x_0|+|h|\right)}^{n-2}$$

הוכחה

שלב א: לפי משפט לגרנז, עבור הפונקציה $g(x)=x^n$ קיימת נקודה $c_1$ בין $x_0$ ל-$x_0+h$ כך ש:

$$\frac{(x_0+h{)}^n-x_0^n}{h}=g^{\prime }(c_1)=n{c}_1^{n-1}$$

שלב ב: לכן יש לחסום את $|n{c}_1^{n-1}-n{x}_0^{n-1}|$. לפי משפט לגרנז שוב, עבור $g(x)=n{x}^{n-1}$ קיימת $c_2$ בין $x_0$ ל-$c_1$ כך ש:

$$\left|\frac{n{c}_1^{n-1}-n{x}_0^{n-1}}{c_1-x_0}\right|=|g^{\prime }(c_2)|=n(n-1)|c_2{|}^{n-2}$$

שלב ג: מכיוון ש-$c_1$ בין $x_0$ ל-$x_0+h$, מתקיים $|c_1-x_0|\le |h|$. מכיוון ש-$c_2$ בין $x_0$ ל-$c_1$, מתקיים $|c_2|\le |x_0|+|h|$. לכן:

$$\left|\frac{(x_0+h{)}^n-x_0^n}{h}-n{x}_0^{n-1}\right|=|c_1-x_0|\cdot n(n-1)|c_2{|}^{n-2}\le |h|\cdot n(n-1)(|x_0|+|h|{)}^{n-2}$$

■

שימוש

טענה זו משמשת בהוכחת גזירה איבר איבר של טורי חזקות כדי לחסום את שגיאת ההחלפה בין הגבול לסכום.

ראה גם

• משפט לגרנז
• גזירה איבר איבר של טורי חזקות