ראשי

אינפי 2

על הקורס

קורס המשך לאינפי 1. מתמקד בניתוח מעמיק של פונקציות — קמירות, קירוב פולינומי, וטורים אינסוניים. הכלים המרכזיים הם נגזרות גבוהות, פולינום טיילור, וקריטריוני התכנסות לטורים.

---

1. גזירות ונגזרות גבוהות

השאלה המרכזית: מה ניתן להסיק מהנגזרת על התנהגות הפונקציה?

גזירות — הגדרה פורמלית, נגזרות חד-צדדיות, כללי חשבון, נגזרות מסדר גבוה.

שלושת משפטי הערך הממוצע — כולם מקשרים ערכי פונקציה לנגזרת:

רול ($f(a)=f(b)$) → לגרנז’ (MVT) → קושי (הכללה לשתי פונקציות).

• משפט לגרנז — קיום $c$ עם $f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.
• משפט קושי — הכללה: $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}$.
• הכללת משפט קושי — גרסה לסדר $n+1$.

קיצון:

• משפט פרמה — תנאי הכרחי לקיצון: $f^{\prime }(x_0)=0$.
• נקודת קיצון — קיצון מקומי וגלובלי.
• סיווג קיצון לפי נגזרות מסדר גבוה — מה קורה כשהנגזרת הראשונה מתאפסת.

---

2. קמירות וקעירות

הרעיון: “קמורה” = הגרף נמצא מתחת לכל מיתר שלו.

קמירות וקעירות — הגדרה, שקילויות, ודוגמאות.

שרשרת השקילויות:

פונקציה $f$ קמורה אם ורק אם:

• שיפועי מיתרים עולים (למת המיתרים)

• הנגזרת $f^{\prime }$ מונוטונית עולה

• מתקיים $f^{\prime \prime }\ge 0$ (אם $f$ גזירה פעמיים)

• הגרף נמצא מעל כל משיק שלו

• למת המיתרים — שיפועי מיתרים עולים.

• שיפוע מיתר פנימי הוא ממוצע משוקלל — כלי עזר לעבודה עם שיפועים.

• פונקציה קמורה אםם הנגזרת מונוטונית עולה — קריטריון $f^{\prime \prime }/f^{\prime }$.

• נגזרות חד צדדיות ורציפות של פונקציה קמורה — תכונות הנגזרת.

• קמירות של פונקציה רציפה בקטע סגור — הרחבה לקצוות.

• בפונקציה קמורה הישר המשיק לפונקציה נמצא מתחת לגרף — שקילות גיאומטרית.

• נקודת פיתול — מעבר מקמירות לקעירות.

• אי שוויון ינסן — $f\left(\sum {\lambda }_i{x}_i\right)\le \sum {\lambda }_{i}f(x_i)$ — הכללה לממוצע משוקלל.

---

3. כלל לופיטל

השאלה: כיצד מחשבים גבולות של צורות $\frac{0}{0}$ ו-$\frac{\infty }{\infty }$?

כלל לופיטל — שלוש גרסאות ($0/0$, $\infty /\infty$, $x\to \infty$), עם הוכחות מלאות.

כלי עזר:

• החלפת משתנים בגבולות — שינוי $x\to g(t)$ בגבולות.

---

4. פולינום טיילור

הרעיון: קירוב פונקציה על ידי פולינום מסדר $n$ בנקודה, כך ששאריות הקירוב קטנה מהר ככל שסדר הקירוב עולה.

פולינום מקלורן וטיילור — הגדרה, הסדרות הסטנדרטיות ($e^x$, $\sin x$, $\cos x$, $\ln (1+x)$, …).

שאלות עומק:

שאלה	תשובה
עד כמה טוב הקירוב?	שארית בצורת לגרנז’ — $R_n=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}$
האם $P_n$ יחיד?	שארית של פולינום מקלורן שואפת לאפס מהר — כן, עד כדי $o(x^n)$
האם קיום $P_n$ גורר גזירות?	האם פולינום מקלורן גורר גזירות — לא
האם $P_n\to f$ תמיד?	פולינום טיילור לא מתכנס נקודתית לפונקציה בהכרח — לא
מתי כן $P_n\to f$?	אם הנגזרות חסומות במשותף פולינומי טיילור מתכנסים נקודתית לפונקציה

משפט טיילור עצמו:

• משפט טיילור — פולינום מסביב ל-$x_0$ כללי.

---

5. טורים

השאלה: בהינתן סדרה $(a_n)$, האם ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ מתכנס?

התכנסות טורים — הגדרה, טורים חיוביים, טורים מתחלפים, התכנסות מוחלטת. אריתמטיקה של טורים — חיבור, כפל בסקלר, מונוטוניות. טור מתכנס אםם כל זנב שלו מתכנס — שינוי מספר סופי של איברים לא משנה התכנסות.

עץ מבחני התכנסות

• אם $a_n\nrightarrow 0$: הטור מתבדר (תנאי הכרחי כושל).
• אם $a_n\to 0$, בדוק מבחנים:
  • טור חיובי:
    • יש $p$-טור לרפרנס? → השוואה ראשון/שני/גבולי
    • האם $a_n=f(n)$ יורד? → מבחן עיבוי
    • האם $a_{n+1}/a_n\to L$? → דאלמבר
    • האם $\sqrt[n]{a_n}\to L$? → קושי (שורש)
  • טור מתחלף: האם $a_n$ יורד ל-$0$? → לייבניץ

הוכחות קנוניות:

• הטור ההרמוני מתבדר — $\sum 1/n=\infty$.
• תנאי הכרחי להתכנסות טורים — $a_n\to 0$ הכרחי.
• קריטריון קושי — תנאי הכרחי ומספיק.

מבחנים:

• מבחן ההשוואה הראשון · מבחן ההשוואה השני · מבחן ההשוואה הגבולי
• מבחן ההשוואה למנות הסדרה
• מבחן קושי להתכנסות טורים חיוביים · מבחן המנה של דאלמבר (בניסוח גבולי)
• מבחן העיבוי · מבחן לייבניץ
• אם טור מתכנס בהחלט אז הוא מתכנס

שינוי סדר הסכימה

שאלה: מה קורה לסכום הטור אם משנים את סדר האיברים?

• שינוי סדר הסכימה של רימן — אם $\sum a_n$ מתכנס בתנאי, לכל $S\in \mathbb{R}$ קיים סדר מחדש שנותן $S$.

---

כפל טורים

הבעיה: להגדיר $\left(\sum a_n\right)\cdot \left(\sum b_n\right)$ כטור מכל המכפלות $a_i{b}_j$.

מצב	תוצאה
שני הטורים מתכנסים בהחלט	משפט קושי למכפלת טורים — כל סדר סכימה נותן $A\cdot B$
אחד לפחות מתכנס בהחלט	משפט מרטנס — מכפלת קושי $\sum c_n$ מתכנסת ל-$A\cdot B$

• מכפלת קושי — $c_n={\sum }_{i+j=n}{a}_i{b}_j$: הכללה לאינסוף של כפל פולינומים.

---

6. טורי חזקות

השאלה: לאיזה $x$ מתכנס הטור $\sum a_n{x}^n$, ומה הפונקציה שהוא מגדיר?

טור חזקות — הגדרה, רדיוס התכנסות, טור סביב נקודה, גזירות.

מבנה תחום ההתכנסות

• התכנסות בהחלט בתחום הפנימי של טור חזקות — אם הטור מתכנס ב-$x_0$, הוא מתכנס בהחלט לכל $|x|<|x_0|$. מכאן: תחום ההתכנסות הוא קטע סימטרי.

חישוב רדיוס ההתכנסות

• משפט קושי-הדמרד — הנוסחה הכללית:

$$R=\frac{1}{{\mathrm{limsup}}_{n\to \infty }\sqrt[n]{|a_n|}}$$

• רדיוס ההתכנסות לפי מבחן המנה — כאשר גבול המנות קיים: $R=\frac{1}{\lim |a_{n+1}/a_n|}$.

טורי חזקות כפונקציות

• לטור הנגזרות אותו רדיוס התכנסות — לטור $\sum n{a}_n{x}^{n-1}$ ולכל טור נגזרות גבוה יותר אותו $R$.
• גזירה איבר איבר של טורי חזקות — הפונקציה $f(x)=\sum a_n{x}^n$ גזירה אינסוף פעמים, ומותר לגזור איבר-איבר.

טענת עזר בהוכחה:

• חסם לשגיאת גזירת חזקה — חסם טכני על שגיאת הגזירה, דרך משפט לגרנז’ פעמיים.

ייצוג פונקציות כטורי חזקות

השאלה: אילו פונקציות ניתן לייצג כטור חזקות?

• יחידות ייצוג כטור חזקות — אם $f(x)=\sum a_n{x}^n$ בסביבת $0$, אז בהכרח $a_n=f^{(n)}(0)/n!$ (הייצוג יחיד, והוא טור מקלורן).
• פונקציה אנליטית — פונקציה שניתן לפתחה לטור חזקות סביב כל נקודה של תחומה.