טור מתכנס אםם כל זנב שלו מתכנס

טור מתכנס אמ”מ כל זנב שלו מתכנס

הגדרה: זנב טור

עבור סדרה $(a_n)$ ומספר $M\in \mathbb{N}$, הזנב מאינדקס $M+1$ הוא:

$$\sum _{n=M+1}^{\infty }{a}_n:=\underset{k\to \infty }{\lim }(a_{M+1}+\cdots +a_{M+k})$$

הטענה

תהא $(a_n)$ סדרה ויהי $M\in \mathbb{N}$. אז:

$$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\text{ מתכנס}⟺\sum _{n=M+1}^{\infty }{a}_n\text{ מתכנס}$$

ובמקרה שהם מתכנסים:

$$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n=\underset{\text{חלק סופי}}{\underbrace{(a_1+\cdots +a_M)}}+\sum _{n=M+1}^{\infty }{a}_n$$

הוכחה

נסמן $S_k=a_1+\cdots +a_k$ (סכומים חלקיים של הטור המקורי) ו-$T_k=a_{M+1}+\cdots +a_{M+k}$ (סכומים חלקיים של הזנב).

קשר: $T_k=S_{M+k}-S_M$ לכל $k\in \mathbb{N}$.

כי $S_M$ קבוע, $(T_k)$ מתכנסת אם ורק אם $(S_{M+k})$ מתכנסת. אבל $(S_{M+k})$ הי סדרת ת-קבוצה של $(S_k)$, ולכן מתכנסת לאותו גבול אם ורק אם $(S_k)$ מתכנסת.

מסקנה: $T_k\to L⟺S_k\to S_M+L$, כלומר שתי הסדרות מתכנסות בעת ובעונה אחת. $■$

מסקנה: שינוי מספר סופי של איברים

שינוי (או הסרה/הוספה) של מספר סופי של איברים בטור אינו משנה את שאלת ההתכנסות (אם כי עשוי לשנות את הסכום).

קשר לקריטריון קושי

קריטריון קושי לטורים אומר: $\sum a_n$ מתכנס $⟺$ לכל $\epsilon >0$ קיים $N$ כך שלכל $m>n>N$: $|a_{n+1}+\cdots +a_m|<\epsilon$. זה בדיוק אומר שהזנבות קטנים — עקביות עם הטענה הנ”ל.

ראה גם

• התכנסות טורים
• קריטריון קושי
• תנאי הכרחי להתכנסות טורים