תנאי הכרחי להתכנסות טורים

הטענה

אם ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n$ מתכנס, אז ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=0$.

הוכחה

תהי $S_n$ סדרת הסכומים החלקיים. מכיוון שהטור מתכנס, $S_n\to L$ לאיזשהו $L\in \mathbb{R}$.

לכן:

$$a_n=S_n-S_{n-1}\stackrel{n\to \infty }{\to }L-L=0$$

■

שימוש: מבחן להתבדרות

הכיוון ההפוך: אם $a_n\nrightarrow 0$ אז הטור מתבדר. זהו מבחן שלילה פשוט.

אזהרה חשובה: $a_n\to 0$ הוא תנאי הכרחי בלבד, לא מספיק. הטור ההרמוני $\sum \frac{1}{n}$ מהווה דוגמה נגדית קלאסית: $\frac{1}{n}\to 0$ אך הטור מתבדר.

ראה גם

• קריטריון קושי
• הטור ההרמוני מתבדר
• התכנסות טורים