הטור ההרמוני מתבדר

הטענה

הטור הבא מתבדר:

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$$

הוכחה

נשתמש בשלילת קריטריון קושי: נוכיח שקיים $\epsilon >0$ כך שלכל $N$ קיימים $m>n>N$ עם $|S_m-S_n|\ge \epsilon$.

נבחר $\epsilon =\frac{1}{2}$ ולכל $N$ נבחר $n=N$, $m=2N$. אז:

$$S_{2N}-S_N=\frac{1}{N+1}+\frac{1}{N+2}+\cdots +\frac{1}{2N}\ge N\cdot \frac{1}{2N}=\frac{1}{2}$$

לפיכך אין $N$ הדרוש לקריטריון קושי, והטור מתבדר. $■$

הערה

ידוע ש-${\sum }_{n=1}^N\frac{1}{n}\approx \ln N+\gamma$ כאשר $\gamma \approx 0.5772$ הוא קבוע אויילר-משרוני. זו האינטואיציה שמאחורי הטיעון: האינטגרל ${\int }_1^{\infty }\frac{dx}{x}=\ln (\infty )$ מתבדר.

מסקנה

הטור ההרמוני הוא דוגמה חשובה: $\frac{1}{n}\to 0$ (תנאי הכרחי מתקיים) אך הטור עדיין מתבדר — מה שמראה שהתנאי ההכרחי אינו מספיק.

ראה גם

• תנאי הכרחי להתכנסות טורים
• קריטריון קושי
• מבחן ההשוואה הראשון