מבחן העיבוי (Cauchy Condensation)

הטענה

יהי $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}$ טור כך ש- ${a_{n}}$ מונוטונית יורדת ואי-שלילית ( $a_{n} \geq 0$ וכן $a_{n + 1} \leq a_{n}$ ). אז:

n = 0 \sum \infty a_{n} מתכנס ⟺ n = 0 \sum \infty 2^{n} a_{2^{n}} מתכנס

נסמן $S_{n}$ את סדרת הסכומים החלקיים של $\sum a_{n}$ , ו- $T_{n}$ את זו של $\sum 2^{n} a_{2^{n}}$ .

מכיוון שמדובר בטורים חיוביים, מספיק להוכיח ש- $S_{n}$ חסומה $⟺$ $T_{n}$ חסומה.

מכיוון ש- $S_{n}$ מונוטונית עולה, היא חסומה $⟺$ תת-הסדרה $S_{2^{n} - 1}$ חסומה.

כיוון $\Rightarrow$ ( $T_{n}$ חסומה $\Rightarrow$ $S_{n}$ חסומה):

נשים לב שלכל בלוק ${a_{2^{k - 1}}, \dots, a_{2^{k} - 1}}$ יש $2^{k - 1}$ איברים, כולם $\leq a_{2^{k - 1}}$ :

a_{2^{k - 1}} + \dots + a_{2^{k} - 1} \leq 2^{k - 1} \cdot a_{2^{k - 1}} = \frac{1}{2} \cdot 2^{k} a_{2^{k - 1}} \leq \frac{1}{2} \cdot 2^{k - 1} a_{2^{k - 1}}

ולפיכך:

S_{2^{n} - 1} \leq a_{0} + \frac{1}{2} T_{n}

אם $T_{n}$ חסומה, גם $S_{2^{n} - 1}$ חסומה, ולכן $S_{n}$ חסומה.

כיוון $\Leftarrow$ ( $S_{n}$ חסומה $\Rightarrow$ $T_{n}$ חסומה):

לכל בלוק: $a_{2^{k - 1} + 1} + \dots + a_{2^{k}} \geq 2^{k - 1} \cdot a_{2^{k}} = \frac{1}{2} \cdot 2^{k} a_{2^{k}}$ , ולכן:

T_{n} \leq 2 S_{2^{n}}

אם $S_{n}$ חסומה, גם $T_{n}$ חסומה. $■$

נחיל על $a_{n} = \frac{1}{n ^{α}}$ ( $α > 0$ , $a_{n}$ מונוטונית יורדת):

2^{n} a_{2^{n}} = 2^{n} \cdot \frac{1}{( 2 ^{n} ) ^{α}} = 2^{n (1 - α)}

הטור $\sum 2^{n (1 - α)}$ הוא טור גיאומטרי עם מנה $2^{1 - α}$ . הוא מתכנס $⟺$ $2^{1 - α} < 1$ $⟺$ $α > 1$ .

מסקנה: $\sum \frac{1}{n ^{α}}$ מתכנס $⟺$ $α > 1$ .