משפט קושי למכפלת טורים

הטענה

נניח כי ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ ו-${\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_n$ מתכנסים בהחלט לסכומים $A$ ו-$B$. יהי ${\sum }_{n=1}^{\infty }{w}_n$ טור המורכב מכל המכפלות $a_i\cdot b_j$ עבור $i,j\in \mathbb{N}$ בסדר סכימה כלשהו. אזי ${\sum }_{n=1}^{\infty }{w}_n$ מתכנס בהחלט וסכומו $A\cdot B$.

הוכחה

שלב א’ — התכנסות בהחלט:

נסמן $S_n={\sum }_{k=1}^n|w_k|$ ונוכיח ש-$S_n$ חסומה מלעיל. יהי $m$ המקסימום של האינדקסים $i,j$ המופיעים בין $n$ האיברים הראשונים. אז:

$$S_n=\sum _{k=1}^n|a_{i_k}||b_{j_k}|\le \left(\sum _{k=1}^m|a_k|\right)\left(\sum _{k=1}^m|b_k|\right)\le C\cdot D$$

כאשר $C={\sum }_{n=1}^{\infty }|a_n|$ ו-$D={\sum }_{n=1}^{\infty }|b_n|$. לכן $S_n\le C\cdot D$ לכל $n$, ולכן הטור מתכנס בהחלט.

שלב ב’ — מציאת הסכום:

מכיוון שהטור מתכנס בהחלט, סכומו אינו תלוי בסדר האיברים. נסדר את המכפלות $a_i\cdot b_j$ לפי $i,j\le n$ ונסמן $T_n$ את סס”ח זה. סדרת הסס”ח מתכנסת, לכן כל תת-סדרה שלה מתכנסת לאותו גבול. נבחר את $T_{n^2}$:

$$T_{n^2}=\sum _{\begin{array}{c}i,j\le n\end{array}}{a}_i{b}_j=\left(\sum _{k=1}^n{a}_k\right)\left(\sum _{k=1}^n{b}_k\right)\stackrel{n\to \infty }{\to }A\cdot B$$

■

ראה גם

• מכפלת קושי
• משפט מרטנס
• אריתמטיקה של טורים
• אם טור מתכנס בהחלט אז הוא מתכנס