מכפלת קושי

הגדרה

בהינתן שני טורים ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n$ ו-${\sum }_{n=0}^{\infty }{b}_n$, מכפלת קושי שלהם היא הטור ${\sum }_{n=0}^{\infty }{c}_n$ כאשר:

$$c_n=\sum _{i+j=n}{a}_i{b}_j=a_0{b}_n+a_1{b}_{n-1}+\cdots +a_{n-1}{b}_1+a_n{b}_0$$

המוטיבציה

כאשר כופלים שני פולינומים:

$$\left(\sum _{k=0}^n{a}_k{x}^k\right)\cdot \left(\sum _{k=0}^m{b}_k{x}^k\right)$$

מקדם $x^n$ בתוצאה הוא בדיוק ${\sum }_{i+j=n}{a}_i{b}_j$. מכפלת קושי מרחיבה פעולה זו ל”פולינומים אינסופיים” — טורי חזקות.

הבעיה הכללית

עבור טורים כלליים (לאו דווקא חזקות), היינו רוצים להגדיר $\left(\sum a_n\right)\cdot \left(\sum b_n\right)$ כטור המורכב מכל המכפלות $a_i\cdot b_j$ בסדר כלשהו. הבעיה: בטורים המתכנסים רק בתנאי, הסדר משפיע על הסכום. לכן:

• משפט קושי למכפלת טורים — עוסק בטורים המתכנסים בהחלט (ואז כל סדר נותן אותו סכום)
• משפט מרטנס — מספיק שאחד מתכנס בהחלט

ראה גם

• משפט קושי למכפלת טורים
• משפט מרטנס
• טור חזקות
• התכנסות טורים