התכנסות בהחלט בתחום הפנימי של טור חזקות

הטענה

יהי ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ טור חזקות. אם הטור מתכנס בנקודה $x_0$, אז לכל $x$ המקיים $|x|<|x_0|$ הטור מתכנס בהחלט.

הוכחה

מהנתון ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}_0^n$ מתכנס, לכן $a_n{x}_0^n\to 0$, ובפרט הסדרה חסומה: קיים $M>0$ כך ש-$|a_n{x}_0^n|\le M$ לכל $n$.

יהי $|x|<|x_0|$ ונסמן $q=\left|\frac{x}{x_0}\right|<1$. אז:

$$|a_n{x}^n|=\left|a_n{x}_0^n\cdot \frac{x^n}{x_0^n}\right|\le M{\left|\frac{x}{x_0}\right|}^n=M{q}^n$$

הטור ${\sum }_{n=0}^{\infty }M{q}^n$ הוא טור גיאומטרי מתכנס (כי $|q|<1$). לפי מבחן ההשוואה הראשון, ${\sum }_{n=0}^{\infty }|a_n{x}^n|$ מתכנס — כלומר הטור מתכנס בהחלט. $■$

מסקנה

תחום ההתכנסות של טור חזקות הוא קטע (אולי נקודה אחת או כל $\mathbb{R}$) סביב $0$: אם הטור מתכנס ב-$x_0$, הוא מתכנס בהחלט בכל $(-|x_0|,|x_0|)$.

ראה גם

• טור חזקות
• מבחן ההשוואה הראשון
• התכנסות טורים