הכללת משפט קושי

המשפט

יהיו $h,g:I\to \mathbb{R}$ רציפות ב-$I$ וגזירות $n+1$ פעמים ב-$I^o$. תהי $x_0\in I^o$ נקודה פנימית המקיימת:

1. $h^{(k)}(x_0)=0$ לכל $k=0,1,\dots ,n$.
2. $g^{(k)}(x_0)=0$ לכל $k=0,1,\dots ,n$.
3. $g^{(n+1)}(x)\ne 0$ לכל $x\in I^o\setminus \{x_0\}$.

אז לכל $x_1\in I$ קיימת $c$ ממש בין $x_0$ ל-$x_1$ כך ש:

$$\frac{h(x_1)}{g(x_1)}=\frac{h^{(n+1)}(c)}{g^{(n+1)}(c)}$$

הוכחה

נגדיר $\phi :I\to \mathbb{R}$ על ידי:

$$\phi (x)=h(x)\cdot g^{(n+1)}(x_0)\cdot \text{(קבוע)}-g(x)\cdot h^{(n+1)}(x_0)\cdot \text{(קבוע)}$$

עדיף: נגדיר ישירות $\phi (x)=h(x_1)g(x)-g(x_1)h(x)$.

תכונות של $\phi$:

• $\phi (x_0)=h(x_1)g(x_0)-g(x_1)h(x_0)=h(x_1)\cdot 0-g(x_1)\cdot 0=0$.
• $\phi (x_1)=h(x_1)g(x_1)-g(x_1)h(x_1)=0$.
• ${\phi }^{(k)}(x_0)=h(x_1)g^{(k)}(x_0)-g(x_1)h^{(k)}(x_0)=0$ לכל $k=1,\dots ,n$.

ניישם את משפט קושי המוכלל (או רול $n+1$ פעמים):

הפונקציה $\phi$ מתאפסת ב-$x_0$ (עם נגזרות מאפסות עד סדר $n$) וב-$x_1$. מרול המוכלל: קיים $c_1$ בין $x_0$ ל-$x_1$ עם ${\phi }^{(1)}(c_1)=0$. אך ${\phi }^{(1)}$ מתאפסת גם ב-$x_0$ (עם נגזרות עד סדר $n-1$). מרול שוב: קיים $c_2$ בין $x_0$ ל-$c_1$ עם ${\phi }^{(2)}(c_2)=0$… נמשיך $n+1$ פעמים:

קיים $c=c_{n+1}$ ממש בין $x_0$ ל-$x_1$ עם ${\phi }^{(n+1)}(c)=0$:

$$0={\phi }^{(n+1)}(c)=h(x_1)g^{(n+1)}(c)-g(x_1)h^{(n+1)}(c)$$

כי $g^{(n+1)}(c)\ne 0$ (תנאי 3), נחלק:

$$h(x_1)=g(x_1)\cdot \frac{h^{(n+1)}(c)}{g^{(n+1)}(c)}$$

ונחלק ב-$g(x_1)$ (שגם אינו אפס — כי $g$ מתאפסת רק עד הנגזרת $n$ ב-$x_0$ אך לא בהכרח ב-$x_1$):

$$\frac{h(x_1)}{g(x_1)}=\frac{h^{(n+1)}(c)}{g^{(n+1)}(c)}■$$

שימוש

משפט זה הוא הבסיס להוכחת כלל לופיטל עבור גבולות מסוג $0/0$ כאשר הנגזרות הראשונות מתאפסות, ולהוכחה של שארית בצורת לגרנז’ מהצורה הכללית.

ראה גם

• משפט קושי
• כלל לופיטל
• שארית בצורת לגרנז’