האם קיום פולינום מקלורן גורר גזירות?

השאלה

תהי $f$ פונקציה המוגדרת בסביבת $x_{0} = 0$ , ונניח שקיים פולינום $P_{n}$ ממעלה $\leq n$ כך ש:

x \to 0 lim \frac{f ( x ) - P _{n} ( x )}{x ^{n}} = 0

האם בהכרח $f$ גזירה $n$ פעמים ב- $x_{0} = 0$ ?

קיום פולינום עם קירוב מסדר $n$ אינו מגרר גזירות $n$ פעמים.

הגדר:

f (x) = {x^{3} sin (\frac{1}{x}) 0 x \neq = 0 x = 0

הטענה: $P_{2} (x) = 0$ מקיים $lim_{x \to 0} (f (x) - 0) / x^{2} = 0$ , אך $f$ אינה גזירה פעמיים ב- $0$ .

הוכחה:

הקירוב: $\frac{f ( x )}{x ^{2}} = ∣ x sin (1/ x) ∣ \leq ∣ x ∣ x \to 0 0$ . $✓$
$f$ גזירה פעם אחת ב- $0$ : $f^{'} (0) = lim_{x \to 0} \frac{x ^{3} s i n ( 1/ x )}{x} = lim_{x \to 0} x^{2} sin (1/ x) = 0$ .
$f$ אינה גזירה פעמיים ב- $0$ : לכל $x \neq = 0$ :
$f^{'} (x) = 3 x^{2} sin (\frac{1}{x}) - x cos (\frac{1}{x})$
לכן:
$f^{''} (0) = x \to 0 lim \frac{f ^{'} ( x ) - f ^{'} ( 0 )}{x} = x \to 0 lim [3 x sin (\frac{1}{x}) - cos (\frac{1}{x})]$
הגבול $lim_{x \to 0} 3 x sin (1/ x) = 0$ , אך $lim_{x \to 0} cos (1/ x)$ לא קיים (מתנודד בין $- 1$ ל- $1$ ). לכן $f^{''} (0)$ אינה מוגדרת. $■$

הכיוון ההפוך תמיד נכון: אם $f$ גזירה $n$ פעמים ב- $0$ , אז פולינום מקלורן מסדר $n$ קיים ומקיים את הגבול. ראו שארית של פולינום מקלורן שואפת לאפס מהר.