פולינום מקלורן וטיילור

הגדרה — פולינום מקלורן (סביב $x_0=0$)

תהי $f$ פונקציה גזירה $n$ פעמים בנקודה $0$. פולינום מקלורן מסדר $n$ מוגדר:

$$P_n(x)=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(0)}{k!}{x}^k=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n$$

השארית נסמנת $R_n(x)=f(x)-P_n(x)$.

הגדרה — פולינום טיילור (סביב נקודה כללית $x_0$)

תהי $f$ המוגדרת בסביבת $x_0$ וגזירה $n$ פעמים ב-$x_0$. פולינום טיילור מסדר $n$ סביב $x_0$:

$$P_{n,x_0}(x)=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k$$

מוטיבציה

נחפש פולינום $P(x)=c_0+c_{1}x+\cdots +c_n{x}^n$ ממעלה $n$ שמתאים לפונקציה $f$ בנקודה $0$ כמה שיותר טוב, כלומר שמקיים $P^{(k)}(0)=f^{(k)}(0)$ לכל $0\le k\le n$.

נגזרים: $P^{(k)}(0)=k!\cdot c_k$, ולכן:

$$c_k=\frac{f^{(k)}(0)}{k!}$$

קירוב ליניארי

עבור $n=1$: $P_1(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$ — זהו הישר המשיק ב-$x_0$. הוא הפולינום היחיד ממעלה $\le 1$ המקיים:

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-P_1(x)}{x-x_0}=0$$

תכונות

• משפט טיילור: הפולינום מקיים את תכונת הקירוב:

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-P_{n,x_0}(x)}{(x-x_0{)}^n}=0$$

וזהו הפולינום היחיד ממעלה $\le n$ עם תכונה זו.

• שארית של פולינום מקלורן שואפת לאפס מהר: הוכחה מפורטת של היחידות.
• שארית בצורת לגרנז’: אמידת השארית כאשר $f$ גזירה $n+1$ פעמים.

פולינומי מקלורן של פונקציות נפוצות

$e^x={\sum }_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}+R_n(x)$

$\sin x={\sum }_{k=0}^m\frac{(-1{)}^k{x}^{2k+1}}{(2k+1)!}+R_{2m+1}(x)$

$\cos x={\sum }_{k=0}^m\frac{(-1{)}^k{x}^{2k}}{(2k)!}+R_{2m}(x)$

$\frac{1}{1-x}={\sum }_{k=0}^n{x}^k+R_n(x)(|x|<1)$

$\ln (1+x)={\sum }_{k=1}^n\frac{(-1{)}^{k+1}{x}^k}{k}+R_n(x)$

הערה: ייצוג כפולינום ב-$(x-x_0)$

ניתן לכתוב פולינום “סביב $x_0$”: $P(x)=d_0+d_1(x-x_0)+\cdots +d_n(x-x_0{)}^n$, כאשר:

$$d_k=\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}$$

הגדרות קשורות

• האם פולינום מקלורן גורר גזירות
• פולינום טיילור לא מתכנס נקודתית לפונקציה בהכרח
• אם הנגזרות חסומות במשותף פולינומי טיילור מתכנסים נקודתית לפונקציה