גזירות

הגדרה

תהי $f:(a,b)\to \mathbb{R}$ פונקציה ותהי $x_0\in (a,b)$. נאמר ש-$f$ גזירה בנקודה $x_0$ אם הגבול הבא קיים וסופי:

$$f^{\prime }(x_0):=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

הגבול נקרא הנגזרת של $f$ בנקודה $x_0$.

אם $f$ גזירה בכל נקודה בתחומה, אומרים ש-$f$ גזירה (בתחומה).

נגזרות חד-צדדיות

נגזרת מימין בנקודה $x_0$:

$$f_{+}^{\prime }(x_0):=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$

נגזרת משמאל בנקודה $x_0$:

$$f_{-}^{\prime }(x_0):=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$

הפונקציה $f$ גזירה בנקודה $x_0$ אם ורק אם שתי הנגזרות החד-צדדיות קיימות ושוות.

תכונות בסיסיות

1. גזירות גוררת רציפות: אם $f$ גזירה ב-$x_0$ אז $f$ רציפה ב-$x_0$. הוכחה:

$$\underset{x\to x_0}{\lim }(f(x)-f(x_0))=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\cdot (x-x_0)=f^{\prime }(x_0)\cdot 0=0$$

2. ההיפך לא נכון: $f(x)=|x|$ רציפה ב-$0$ אך לא גזירה שם.

כללי גזירה

יהיו $f,g$ גזירות ב-$x_0$, אז:

• $(f+g{)}^{\prime }(x_0)=f^{\prime }(x_0)+g^{\prime }(x_0)$
• $(fg{)}^{\prime }(x_0)=f^{\prime }(x_0)g(x_0)+f(x_0)g^{\prime }(x_0)$ (כלל הגזירה של מכפלה)
• כלל המנה (כאשר $g(x_0)\ne 0$):

$${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }(x_0)=\frac{f^{\prime }(x_0)g(x_0)-f(x_0)g^{\prime }(x_0)}{g(x_0{)}^2}$$

• $(f\circ g{)}^{\prime }(x_0)=f^{\prime }(g(x_0))\cdot g^{\prime }(x_0)$ (כלל השרשרת)

נגזרות גבוהות

הפונקציה $f$ נקראת גזירה פעמיים בנקודה $x_0$ אם $f^{\prime }$ גזירה ב-$x_0$, ונסמן $f^{\prime \prime }(x_0)$ או $f^{(2)}(x_0)$. באופן כללי:

$$f^{(n)}(x_0):={\left(f^{(n-1)}\right)}^{\prime }(x_0)$$

ראה גם

• נקודת קיצון
• משפט פרמה
• פולינום מקלורן וטיילור