משפט טיילור

המשפט

תהי $f$ פונקציה גזירה $n$ פעמים ב-$x_0$, ויהי $P_{n,x_0}(x)$ פולינום טיילור מסדר $n$ שלה סביב $x_0$. אז:

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-P_{n,x_0}(x)}{(x-x_0{)}^n}=0$$

כמו כן, $P_{n,x_0}$ הוא הפולינום היחיד ממעלה לכל היותר $n$ עבורו מתקיים גבול זה.

פרשנות

הגבול אומר שהשארית $R_n(x)=f(x)-P_n(x)$ שואפת לאפס מהר יותר מ-$(x-x_0{)}^n$ — כלומר, פולינום טיילור הוא הקירוב הפולינומי הטוב ביותר מסדר $n$ לפונקציה.

הוכחה

הצמצום לסביבת אפס

נגדיר $g(t)=f(t+x_0)$. מכיוון ש-$f$ מוגדרת בסביבת $x_0$, גם $g$ מוגדרת בסביבת $0$, ועוברת לה את הגזירות.

פולינום מקלורן של $g$ הוא היחיד שמקיים:

$$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{g(t)-P_n^g(t)}{t^n}=0$$

החלפת משתנים

לפי החלפת משתנים בגבולות, נציב $t=x-x_0$:

$$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{g(t)-P_n^g(t)}{t^n}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-P_{n,x_0}^f(x)}{(x-x_0{)}^n}=0$$

(שכן $P_n^g(t)=P_{n,x_0}^f(t+x_0)$, כלומר פולינום מקלורן של $g$ הוא אותו פולינום טיילור של $f$ לאחר הזזה.) $■$

הערה: שארית בצורת לגרנז’

ניתן לאמוד את השארית במפורש באמצעות שארית בצורת לגרנז’: אם $f$ גזירה $n+1$ פעמים אז לכל $x$ קיים $c_x$ בין $x_0$ ל-$x$ כך ש:

$$R_{n,x_0}(x)=f(x)-P_{n,x_0}(x)=\frac{f^{(n+1)}(c_x)}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}$$

ראה גם

• פולינום מקלורן וטיילור
• שארית של פולינום מקלורן שואפת לאפס מהר
• שארית בצורת לגרנז’
• סיווג קיצון לפי נגזרות מסדר גבוה