החלפת משתנים בגבולות

המשפט

יהיו $I,J$ קטעים פתוחים, $x_0\in J$, $y_0\in I$. תהי $g:J\setminus \{x_0\}\to I\setminus \{y_0\}$ עם ${\lim }_{x\to x_0}g(x)=y_0$.

אם ${\lim }_{y\to y_0}f(y)$ קיים (במובן הרחב), אז:

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(g(x))=\underset{y\to y_0}{\lim }f(y)$$

תנאי מספיק להיפוך: אם $g$ חד-חד-ערכית ורציפה בסביבת $x_0$, אז גם ${\lim }_{x\to x_0}f(g(x))=L$ גורר ${\lim }_{y\to y_0}f(y)=L$.

רעיון ההוכחה

לפי קריטריון היינה: יהי $x_n\ne x_0$ עם $x_n\to x_0$. מרציפות $g$: $g(x_n)\to y_0$. מהיינה ל-$f$: $f(g(x_n))\to {\lim }_{y\to y_0}f(y)$.

מדוע ההיפוך דורש תנאים?

אם $g$ אינה חד-חד-ערכית, ייתכן שכל סדרה $y_n\to y_0$ אינה מהצורה $g(x_n)$ — כלומר $g$ “מדלגת” על ערכים מסוימים. הגבול $\lim f(g(x))$ יכול להתקיים אפילו אם $\lim f(y)$ לא קיים.

דוגמה לכישלון בכיוון ההפוך

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1& x>0\\ -1& x<0\end{array},g(x)=x^2$$

נקבל ${\lim }_{x\to 0}f(g(x))={\lim }_{x\to 0}f(x^2)={\lim }_{x\to 0}1=1$ — הגבול קיים.

אבל ${\lim }_{y\to 0}f(y)$ לא קיים כי ${\lim }_{y\to 0^{+}}f(y)=1\ne -1={\lim }_{y\to 0^{-}}f(y)$.

הסיבה: $g(x)=x^2\ge 0$ תמיד, ולכן $f(g(x))$ רואה רק את הצד החיובי של $f$.

שימושים

• לופיטל עם $x\to \infty$: מחליפים $x=1/t$ עם $t\to 0^{+}$.
• פולינומי טיילור: הצבה $u=x-x_0$ מקטע $x\to x_0$ ל-$u\to 0$.
• גבולות בצורות אי-קבועות: לפעמים החלפת משתנים מפשטת את הגבול.

ראה גם

• כלל לופיטל
• פולינום מקלורן וטיילור