אם הנגזרות חסומות במשותף פולינומי טיילור מתכנסים נקודתית לפונקציה

אם הנגזרות חסומות במשותף, פולינומי טיילור מתכנסים לפונקציה

הטענה

תהי $f:I\to \mathbb{R}$ גזירה אינסוף פעמים בקטע $I$, ותהי $x_0\in I^o$ נקודה פנימית. יהיו $P_n(x)$ פולינומי טיילור של $f$ סביב $x_0$.

נניח שהנגזרות חסומות במשותף בפנים הקטע: קיים $M>0$ כך שלכל $n\in \mathbb{N}$ ולכל $x\in I^o$:

$$\left|f^{(n)}(x)\right|\le M$$

אז לכל $x_1\in I$:

$$P_n(x_1)\stackrel{n\to \infty }{\to }f(x_1)$$

חיזוק

מספיק לדרוש שקיימת סדרת חסמים $M_n$ עם:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{M_n|x_1-x_0{|}^{n+1}}{(n+1)!}=0$$

(כי $M_n\ge \sup |f^{(n)}|$). החסם הקבוע $M_n=M$ מקיים זאת בבירור.

הוכחה

תהי $x_1\in I$. לפי שארית בצורת לגרנז’, לכל $n\in \mathbb{N}$ קיימת $c_n$ ממש בין $x_0$ ל-$x_1$ כך ש:

$$R_n(x_1)=f(x_1)-P_n(x_1)=\frac{f^{(n+1)}(c_n)}{(n+1)!}(x_1-x_0{)}^{n+1}$$

לכן:

$$|R_n(x_1)|=\left|\frac{f^{(n+1)}(c_n)}{(n+1)!}(x_1-x_0{)}^{n+1}\right|\le \frac{M|x_1-x_0{|}^{n+1}}{(n+1)!}$$

נגדיר:

$$b_n=\frac{M|x_1-x_0{|}^{n+1}}{(n+1)!}$$

לפי מבחן המנה של דאלמבר (בניסוח גבולי):

$$\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{|x_1-x_0|}{n+2}\stackrel{n\to \infty }{\to }0<1$$

לכן $\sum b_n$ מתכנסת, ובפרט $b_n\to 0$. מכך:

$$|R_n(x_1)|\le b_n\to 0⟹P_n(x_1)\to f(x_1)■$$

דוגמאות

דוגמה 1: $f(x)=\sin x$

מתקיים $|f^{(n)}(x)|\le 1$ לכל $n,x$ (הנגזרות הן $\pm \sin ,\pm \cos$). לכן לכל $x_0,x_1\in \mathbb{R}$: $P_n(x_1)\to \sin (x_1)$.

דוגמה 2: $f(x)=\cos x$

אותו טיעון. פולינומי מקלורן ($x_0=0$): ${\sum }_{k=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^k{x}^{2k}}{(2k)!}$ מתכנסים ל-$\cos x$ בכל $\mathbb{R}$.

דוגמה 3: $f(x)=e^x$ על קטע חסום

ב-$[-R,R]$: $|f^{(n)}(x)|=e^x\le e^R=M$. לכן בכל קטע חסום, פולינומי מקלורן ${\sum }_{k=0}^n{x}^k/k!$ מתכנסים ל-$e^x$.

ראה גם

• פולינום מקלורן וטיילור
• שארית בצורת לגרנז’
• פולינום טיילור לא מתכנס נקודתית לפונקציה בהכרח