יחידות ייצוג כטור חזקות

הטענה

תהי $f$ פונקציה ונניח שהיא ניתנת לייצוג כטור חזקות בסביבת $0$ , כלומר קיים $δ > 0$ ולכל $x \in (- δ, δ)$ :

f (x) = n = 0 \sum \infty a_{n} x^{n}

אז לכל $n \in N$ :

a_{n} = \frac{f ^{(n)} ( 0 )}{n !}

בפרט, הייצוג יחיד: אם שני טורי חזקות שווים בסביבת $0$ , אז כל מקדמיהם שווים.

מכיוון שהטור מתכנס בסביבת $0$ , לפי גזירה איבר איבר של טורי חזקות הפונקציה $f$ גזירה אינסוף פעמים ב- $(- δ, δ)$ , ולכל $k$ :

f^{(k)} (x) = n = k \sum \infty \frac{n !}{( n - k )!} a_{n} x^{n - k}

נציב $x = 0$ ; כל האיברים מלבד $n = k$ מתאפסים:

f^{(k)} (0) = k! a_{k}

לכן:

a_{k} = \frac{f ^{(k)} ( 0 )}{k !}

■

תהי $f$ פונקציה הגזירה אינסוף פעמים בסביבת $0$ . טור מקלורן (או טור טיילור של $f$ סביב $0$ ) הוא הטור האינסוני:

n = 0 \sum \infty \frac{f ^{(n)} ( 0 )}{n !} x^{n}

אם $f$ ניתנת לייצוג כטור חזקות סביב $0$ , הייצוג הוא בדיוק טור מקלורן שלה.

הפונקציה $f$ ניתנת לייצוג כטור חזקות סביב $0$ אם ורק אם:

הערה: התנאי הראשון אינו מספיק לבדו — קיימות פונקציות גזירות אינסוף פעמים שטור מקלורן שלהן לא מתכנס אליהן (ראו פונקציה אנליטית).