נגזרות חד-צדדיות ורציפות של פונקציה קמורה

הטענה

תהי $f:I\to \mathbb{R}$ פונקציה קמורה בקטע $I$. אזי:

1. לכל נקודה פנימית $x_0\in I$, הפונקציה $f$ גזירה משמאל ומימין ב-$x_0$ ומתקיים $f_{-}^{\prime }(x_0)\le f_{+}^{\prime }(x_0)$.
2. יהיו $x_1<x_2$ נקודות פנימיות ב-$I$, אז $f_{+}^{\prime }(x_1)\le f_{-}^{\prime }(x_2)$.

הוכחה

חלק 1: קיום הנגזרות החד-צדדיות

תהי $x_0$ נקודה פנימית. כלומר קיים $\delta >0$ כך ש-$(x_0-\delta ,x_0+\delta )\subseteq I$.

נגדיר את פונקציית השיפוע $g:(-\delta ,\delta )\setminus \{0\}\to \mathbb{R}$ על ידי:

$$g(h)=m(x_0,x_0+h)=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$

מלמת המיתרים, $g$ מונוטונית עולה: לכל $h_1<h_2$ בתחום מתקיים $g(h_1)\le g(h_2)$.

• מהצד החיובי ($h>0$): $g(h)$ מונוטונית עולה וחסומה מלרע (על ידי $g(-h)$ לכל $h>0$), לכן ${\lim }_{h\to 0^{+}}g(h)$ קיים. זה $f_{+}^{\prime }(x_0)$.
• מהצד השלילי ($h<0$): $g(h)$ מונוטונית עולה וחסומה מלעיל (על ידי $g(h^{\prime })$ לכל $h^{\prime }>0$), לכן ${\lim }_{h\to 0^{-}}g(h)$ קיים. זה $f_{-}^{\prime }(x_0)$.

הוכחת $f_{-}^{\prime }(x_0)\le f_{+}^{\prime }(x_0)$

נשים לב ש-$f_{-}^{\prime }(x_0)={\lim }_{h\to 0^{-}}m(x_0,x_0+h)={\lim }_{h\to 0^{+}}m(x_0-h,x_0)$.

מלמת המיתרים, לכל $h>0$ מספיק קטן:

$$m(x_0-h,x_0)\le m(x_0,x_0+h)$$

במעבר לגבול $h\to 0^{+}$ נקבל $f_{-}^{\prime }(x_0)\le f_{+}^{\prime }(x_0)$.

חלק 2: $f_{+}^{\prime }(x_1)\le f_{-}^{\prime }(x_2)$

לכל $h>0$ מספיק קטן כך ש-$x_1+h<x_2-h$, מלמת המיתרים:

$$m(x_1,x_1+h)\le m(x_1+h,x_2-h)\le m(x_2-h,x_2)$$

נעביר לגבול $h\to 0^{+}$:

$$f_{+}^{\prime }(x_1)\le m(x_1+h,x_2-h)\le f_{-}^{\prime }(x_2)$$

■

מסקנה — רציפות

הפונקציה $f$ רציפה בכל נקודה פנימית של $I$, כי גם הנגזרת משמאל וגם מימין קיימות, ושתיהן נוטות לאותו גבול (שהוא $f(x_0)$).

הערה

בקצוות הקטע $I$, ייתכן שהנגזרות החד-צדדיות לא קיימות או לא מקיימות את הטענה.

אינטואיציה

פונקציה קמורה “מתעקלת כלפי מעלה” — ככל שמתקדמים ימינה, השיפוע הממוצע בין נקודות גדל. זה מכריח שה”נגזרת מימין” תהיה לפחות גדולה כמו ה”נגזרת משמאל”, ושנגזרות בנקודות שונות מסודרות בסדר.

ראה גם

• קמירות וקעירות
• למת המיתרים
• פונקציה קמורה אםם הנגזרת מונוטונית עולה