פונקציה קמורה אםם הנגזרת מונוטונית עולה

פונקציה קמורה אמ”מ הנגזרת מונוטונית עולה

הטענה

תהי $f$ גזירה בקטע פתוח $I$. אז $f$ קמורה ב-$I$ אם ורק אם $f^{\prime }$ מונוטונית עולה (לא יורדת) ב-$I$.

הוכחה

$(\Rightarrow )$ אם $f$ קמורה אז $f^{\prime }$ עולה

נניח $f$ קמורה ב-$I$ וגזירה בכל $I$. לכל $x_0\in I$: $f_{-}^{\prime }(x_0)=f_{+}^{\prime }(x_0)=f^{\prime }(x_0)$.

מנגזרות חד צדדיות ורציפות של פונקציה קמורה: לכל $x_1<x_2$ ב-$I$ מתקיים:

$$f^{\prime }(x_1)=f_{+}^{\prime }(x_1)\le f_{-}^{\prime }(x_2)=f^{\prime }(x_2)$$

לכן $f^{\prime }$ עולה. $■$

$(\Leftarrow )$ אם $f^{\prime }$ עולה אז $f$ קמורה

נניח $f^{\prime }$ מונוטונית עולה ב-$I$. לפי למת המיתרים, מספיק להוכיח שלכל $x_1<x_2<x_3$ ב-$I$: $m(x_1,x_2)\le m(x_2,x_3)$.

ניישם משפט לגרנז על $[x_1,x_2]$: קיים $c_1\in (x_1,x_2)$ עם:

$$f^{\prime }(c_1)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=m(x_1,x_2)$$

ניישם משפט לגרנז על $[x_2,x_3]$: קיים $c_2\in (x_2,x_3)$ עם:

$$f^{\prime }(c_2)=\frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}=m(x_2,x_3)$$

כי $c_1<x_2<c_2$ ו-$f^{\prime }$ עולה: $f^{\prime }(c_1)\le f^{\prime }(c_2)$, כלומר $m(x_1,x_2)\le m(x_2,x_3)$. $■$

מסקנה: קריטריון הנגזרת השנייה

תהי $f$ גזירה פעמיים ב-$I$. אז:

$$f\text{ קמורה ב-}I⟺f^{\prime \prime }(x)\ge 0\text{ לכל }x\in I$$

הסבר: $f^{\prime }$ עולה אם ורק אם $(f^{\prime }{)}^{\prime }=f^{\prime \prime }\ge 0$.

דוגמה: $f(x)=e^x$: $f^{\prime \prime }(x)=e^x>0$, לכן $f$ קמורה בכל $\mathbb{R}$.

ראה גם

• קמירות וקעירות
• למת המיתרים
• נגזרות חד צדדיות ורציפות של פונקציה קמורה
• משפט לגרנז