אי שוויון ינסן

הטענה

תהי $f:(a,b)\to \mathbb{R}$ פונקציה קמורה, ויהיו נקודות $x_1,\dots ,x_n\in (a,b)$. אזי:

$$f\left(\frac{x_1+\cdots +x_n}{n}\right)\le \frac{f(x_1)+\cdots +f(x_n)}{n}$$

הכללה (משקולות כלליות)

לכל ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\ge 0$ המקיימים ${\lambda }_1+\cdots +{\lambda }_n=1$:

$$f({\lambda }_1{x}_1+\cdots +{\lambda }_n{x}_n)\le {\lambda }_{1}f(x_1)+\cdots +{\lambda }_{n}f(x_n)$$

הוכחה (באינדוקציה)

נוכיח את הגרסה הכללית עם משקולות.

בסיס האינדוקציה ($n=2$): זהו בדיוק הגדרת הפונקציה הקמורה — לכל $\lambda \in [0,1]$:

$$f(\lambda x_1+(1-\lambda )x_2)\le \lambda f(x_1)+(1-\lambda )f(x_2)$$

צעד האינדוקציה: נניח שהטענה נכונה עבור $n$ נקודות ונוכיח עבור $n+1$.

יהיו $x_1,\dots ,x_{n+1}\in (a,b)$ ויהיו ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_{n+1}\ge 0$ עם:

$$\sum _{i=1}^{n+1}{\lambda }_i=1$$

אם ${\lambda }_{n+1}=1$ אז הטענה טריוויאלית. אחרת, נסמן $\mu =1-{\lambda }_{n+1}>0$ ונגדיר ${\mu }_i={\lambda }_i/\mu$ לכל $i=1,\dots ,n$. אז ${\sum }_{i=1}^n{\mu }_i=1$ ו-${\sum }_{i=1}^n{\mu }_i{x}_i\in (a,b)$ (כצירוף קמור של נקודות בקטע).

כעת:

$$\sum _{i=1}^{n+1}{\lambda }_i{x}_i=\mu \underset{=:y}{\underbrace{\sum _{i=1}^n{\mu }_i{x}_i}}+{\lambda }_{n+1}{x}_{n+1}$$

מבסיס האינדוקציה עם $\lambda =\mu ,1-\lambda ={\lambda }_{n+1}$:

$$f\left(\sum _{i=1}^{n+1}{\lambda }_i{x}_i\right)=f(\mu y+{\lambda }_{n+1}{x}_{n+1})\le \mu f(y)+{\lambda }_{n+1}f(x_{n+1})$$

מהנחת האינדוקציה (המוחלת על $y={\sum }_{i=1}^n{\mu }_i{x}_i$ עם משקולות ${\mu }_i$):

$$f(y)\le \sum _{i=1}^n{\mu }_{i}f(x_i)$$

לפיכך:

$$f\left(\sum _{i=1}^{n+1}{\lambda }_i{x}_i\right)\le \mu \sum _{i=1}^n{\mu }_{i}f(x_i)+{\lambda }_{n+1}f(x_{n+1})=\sum _{i=1}^n{\lambda }_{i}f(x_i)+{\lambda }_{n+1}f(x_{n+1})=\sum _{i=1}^{n+1}{\lambda }_{i}f(x_i)$$

■

מסקנות ויישומים

1. עבור $f(x)=e^x$ (קמורה) נקבל:

$$e^{\frac{x_1+\cdots +x_n}{n}}\le \frac{e^{x_1}+\cdots +e^{x_n}}{n}$$

ממנה נובע שהממוצע הגיאומטרי $\le$ הממוצע האריתמטי:

$$\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}\le \frac{a_1+\cdots +a_n}{n}$$

2. עבור $f(x)=-\ln x$ (קמורה על $(0,\infty )$): אי-שוויון AG.

ראה גם

• קמירות וקעירות
• פונקציה קמורה אםם הנגזרת מונוטונית עולה