בפונקציה קמורה הישר המשיק לפונקציה נמצא מתחת לגרף

ישר משיק לפונקציה קמורה נמצא מתחת לגרף

הטענה

תהי $f$ גזירה בקטע הפתוח $I$. אז $f$ קמורה בקטע אם ורק אם לכל $x_0\in I$, הישר המשיק:

$$t(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$$

מקיים $f(x)\ge t(x)$ לכל $x\in I$.

הוכחה

כיוון $\Rightarrow$ (קמורה $\Rightarrow$ ישר משיק מתחת)

נניח ש-$f$ קמורה. יהי $x_0\in I$ ונגדיר $g(x)=f(x)-t(x)=f(x)-f(x_0)-f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$.

נשים לב ש:

• $g(x_0)=0$.
• $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-f^{\prime }(x_0)$.

מכיוון ש-$f$ קמורה, לפי הנגזרת של פונקציה קמורה מונוטונית עולה, נקבל:

• לכל $x<x_0$: $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-f^{\prime }(x_0)\le 0$, כלומר $g$ יורדת לפני $x_0$.
• לכל $x>x_0$: $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-f^{\prime }(x_0)\ge 0$, כלומר $g$ עולה אחרי $x_0$.

לפיכך $x_0$ הוא נקודת מינימום גלובלי של $g$, ומכיוון ש-$g(x_0)=0$ נקבל $g(x)\ge 0$ לכל $x\in I$, כלומר $f(x)\ge t(x)$. $■$

כיוון $\Leftarrow$ (ישר משיק מתחת $\Rightarrow$ קמורה)

נניח ש-$f$ נמצאת מעל כל ישר משיק לה בקטע. נרצה להוכיח ש-$f$ קמורה, ולשם כך נשתמש בלמת המיתרים: מספיק להוכיח שלכל $x_1<x_2<x_3$ בקטע מתקיים $m(x_1,x_2)\le m(x_2,x_3)$.

מהנחה, הישר המשיק ב-$x_2$ נמצא מתחת לגרף:

• $f(x_1)\ge f(x_2)+f^{\prime }(x_2)(x_1-x_2)$, ולכן $f(x_1)-f(x_2)\ge f^{\prime }(x_2)(x_1-x_2)$. מחלקים ב-$(x_1-x_2)<0$ ומקבלים: $m(x_1,x_2)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\le f^{\prime }(x_2)$

• $f(x_3)\ge f(x_2)+f^{\prime }(x_2)(x_3-x_2)$, ולכן $f(x_3)-f(x_2)\ge f^{\prime }(x_2)(x_3-x_2)$. מחלקים ב-$(x_3-x_2)>0$: $m(x_2,x_3)=\frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}\ge f^{\prime }(x_2)$

מצרוף השניים: $m(x_1,x_2)\le f^{\prime }(x_2)\le m(x_2,x_3)$, כמו שרצינו. $■$

ראה גם

• קמירות וקעירות
• למת המיתרים
• פונקציה קמורה אםם הנגזרת מונוטונית עולה