רדיוס ההתכנסות לפי מבחן המנה

הטענה

יהי $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ טור חזקות כך ש- $a_{n} \neq = 0$ לכל $n$ . אם הגבול:

L = n \to \infty lim \frac{a _{n + 1}}{a _{n}}

קיים במובן הרחב ( $L \in [0, \infty]$ ), אז רדיוס ההתכנסות הוא:

R = \frac{1}{L}

(כאשר $R = \infty$ אם $L = 0$ , ו- $R = 0$ אם $L = \infty$ ).

כאשר הגבול $L = lim_{n \to \infty} \frac{a _{n + 1}}{a _{n}}$ קיים, מתקיים:

n \to \infty lim sup n ∣ a_{n} ∣ = n \to \infty lim n ∣ a_{n} ∣ = L

השוויון האחרון נובע מכך שאם גבול המנות קיים, הוא שווה לגבול השורשים. לפיכך, לפי משפט קושי-הדמרד:

R = \frac{1}{lim sup n ∣ a _{n} ∣} = \frac{1}{L}

■

דוגמה 1: הטור $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x ^{n}}{n !}$ , כלומר $a_{n} = \frac{1}{n !}$ :

L = n \to \infty lim \frac{1/ ( n + 1 )!}{1/ n !} = n \to \infty lim \frac{1}{n + 1} = 0

לכן $R = \infty$ — הטור מתכנס לכל $x \in R$ .

דוגמה 2: הטור $\sum_{n = 0}^{\infty} n! x^{n}$ , כלומר $a_{n} = n!$ :

L = n \to \infty lim \frac{( n + 1 )!}{n !} = n \to \infty lim (n + 1) = \infty

לכן $R = 0$ — הטור מתכנס רק ב- $x = 0$ .