לטור הנגזרות אותו רדיוס התכנסות

הטענה

יהי ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ טור חזקות עם רדיוס התכנסות $R>0$. לכל $k\in \mathbb{N}$, לטור הנגזרות ה-$k$-יות:

$$\sum _{n=k}^{\infty }\frac{n!}{(n-k)!}{a}_n{x}^{n-k}$$

יש אותו רדיוס התכנסות $R$.

בפרט:

• לטור הנגזרות הראשון ${\sum }_{n=1}^{\infty }n{a}_n{x}^{n-1}$ — אותו $R$.
• לטור הנגזרות השני ${\sum }_{n=2}^{\infty }n(n-1)a_n{x}^{n-2}$ — אותו $R$.

הוכחה (עבור $k=1$)

נבצע החלפת אינדקס $m=n-1$:

$$\sum _{n=1}^{\infty }n{a}_n{x}^{n-1}=\sum _{m=0}^{\infty }(m+1)a_{m+1}{x}^m$$

לפי משפט קושי-הדמרד, רדיוס ההתכנסות של הטור הזה הוא:

$$R_1=\frac{1}{{\mathrm{limsup}}_{m\to \infty }\sqrt[m]{(m+1)|a_{m+1}|}}$$

מכיוון ש-$\sqrt[m]{m+1}\to 1$, מתקיים:

$$\underset{m\to \infty }{\mathrm{limsup}}\sqrt[m]{(m+1)|a_{m+1}|}=\underset{m\to \infty }{\mathrm{limsup}}{\left(\sqrt[m+1]{|a_{m+1}|}\right)}^{\frac{m+1}{m}}=\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}\sqrt[n]{|a_n|}$$

לכן $R_1=R$. ■

ראה גם

• טור חזקות
• משפט קושי-הדמרד
• גזירה איבר איבר של טורי חזקות