השלמות דדקינד של קבוצות איזומורפיות הן איזומורפיות

הטענה

אם $(X_1,{<}_1)\cong (X_2,{<}_2)$ (קיים איזומורפיזם $f:X_1\to X_2$), אז גם ההשלמות שלהן איזומורפיות: $(X_1^{\prime },\subset )\cong (X_2^{\prime },\subset )$.

יתרה מכך: האיזומורפיזם $f:X_1\to X_2$ מתרחב לאחד יחיד $f^{\prime }:X_1^{\prime }\to X_2^{\prime }$.

הוכחה

בניית $f^{\prime }$

לכל חתך $C\subseteq X_1$, נגדיר:

$$f^{\prime }(C)=f(C):=\{f(x):x\in C\}$$

$f^{\prime }(C)$ הוא חתך ב-$X_2$:

1. סגור מלמטה: אם $f(x)\in f(C)$ ו-$y{<}_{2}f(x)$, אז כיוון ש-$f^{-1}$ שומרת סדר: $f^{-1}(y){<}_{1}x$, לכן $f^{-1}(y)\in C$ (כי $C$ חתך), ולכן $y=f(f^{-1}(y))\in f(C)$.
2. אין מקסימום: אם $f(x)\in f(C)$, אז $x\in C$ ומכיוון ש-$C$ חתך קיים $x^{\prime }>x$ ב-$C$. אז $f(x^{\prime }){>}_{2}f(x)$ ו-$f(x^{\prime })\in f(C)$.

$f^{\prime }$ היא איזומורפיזם

חח”ע ושמירת סדר: אם $C_1⊊C_2$, קיים $y\in C_2\setminus C_1$. אז $f(y)\in f(C_2)$ אבל $f(y)\notin f(C_1)$ (כי $f$ חח”ע). לכן $f^{\prime }(C_1)⊊f^{\prime }(C_2)$.

על: לכל חתך $D\subseteq X_2$, הקבוצה $f^{-1}(D)=\{f^{-1}(y):y\in D\}$ היא חתך ב-$X_1$ (אנלוגי לאמור לעיל), ו-$f^{\prime }(f^{-1}(D))=D$. $■$

הערה

אם $(X,<)$ סדר קווי צפוף ו-$X_0\subseteq X^{\prime }$ צפופה ב-$X^{\prime }$ ו-$(X_0,<)\cong (\mathbb{Q},<)$, אז $X_0^{\prime }\cong X^{\prime }$.

ראה גם

• איזומורפיזם
• חתך דדקינד
• שלמות דדקינד
• המספרים הממשיים