המספרים הממשיים

המשפט (הגדרה אקסיומטית)

קיים סדר קווי צפוף חסר קצוות שלם יחיד עד כדי איזומורפיזם שיש לו תת-קבוצה צפופה בת-מניה. קבוצה זו נסמנת $\mathbb{R}$ ונקראת המספרים הממשיים.

הוכחה

קיום

הקבוצה $({\mathbb{Q}}^{\prime },\subset )$ — השלמת דדקינד של הרציונלים — עונה על הדרישות:

• שלמה ✓
• $\mathbb{Q}$ צפופה בה (כת”ק) ✓
• $\mathbb{Q}$ בת-מניה ✓

יחידות

נניח ש-$(X,<)$ מקיים את התנאים עם $X_0\subseteq X$ תת-קבוצה צפופה בת-מניה.

1. ממשפט קנטור: $(X_0,<)\cong (\mathbb{Q},<)$.
2. מהשלמות דדקינד של קבוצות איזומורפיות הן איזומורפיות: $X_0^{\prime }\cong {\mathbb{Q}}^{\prime }$.
3. מצפיפות $X_0$ ב-$X$ ומשלמות: $X_0\subseteq X\subseteq X_0^{\prime }$.

מכיוון ש-$X$ שלם וכל חתך ב-$X$ מגיע ל-$X$, מתקיים $X\cong X_0^{\prime }\cong {\mathbb{Q}}^{\prime }$. $■$

פעולות החשבון על $\mathbb{R}={\mathbb{Q}}^{\prime }$

נגדיר את $\mathbb{R}$ כאוסף חתכי דדקינד של $\mathbb{Q}$:

חיבור: $C_1+C_2:=\sup \{q_1+q_2:q_1\in C_1,q_2\in C_2\}=\{q\in \mathbb{Q}:\exists q_1\in C_1,q_2\in C_2,q<q_1+q_2\}$

כפל (לחתכים חיוביים $C_1,C_2>0$): $C_1\cdot C_2:=\sup \{q_1\cdot q_2:q_1\in C_1,q_2\in C_2,q_1,q_2>0\}$

על ידי הרחבה מתאימה לשליליים ואפס, $\mathbb{R}$ הופך לשדה סדור שלם.

הערה

לפי משפט קנטור, כל תת-קבוצה צפופה בת-מניה של $\mathbb{R}$ (כגון $\mathbb{Q}$) היא איזומורפית ל-$(\mathbb{Q},<)$.

ראה גם

• חתך דדקינד
• שלמות דדקינד
• משפט קנטור
• קבוצת החתכים היא סדר שלם