משפט קנטור

המשפט

כל סדר קווי צפוף חסר קצוות בן-מניה הוא איזומורפי ל-$(\mathbb{Q},<)$.

כלומר: יש מסת אחת (עד כדי איזומורפיזם) של סדרים קוויים צפופים חסרי קצוות בני-מניה.

הוכחה

שלב 1: $\mathbb{Q}$ בת-מניה

יש פונקציה על $g:{\mathbb{N}}^2\to \mathbb{Q}$ המוגדרת $g(n,m)=\frac{n}{m}$ (עם $g(n,0)=0$). ויש פונקציה על $f:\mathbb{N}\to {\mathbb{N}}^2$. ולכן $g\circ f:\mathbb{N}\to \mathbb{Q}$ היא על.

הערה: מכל פונקציה על $\mathbb{N}\to \mathbb{Q}$ ניתן לבנות ספירה (bijecion) על ידי דילוג על חזרות.

שלב 2: בניית האיזומורפיזם בשלבים

יהי $(X_1,{<}_1)$ סדר קווי צפוף חסר קצוות בן-מניה. נסמן:

• $q_1,q_2,\dots$ — ספירה של $\mathbb{Q}$ ($=X_2$).
• $r_1,r_2,\dots$ — ספירה של $X_1$.

נבנה $f:X_1\to \mathbb{Q}$ בשלבים, כך שבכל שלב $f_n$ היא פונקציה חלקית סופית שומרת סדר, ומקיימת:

• בשלבים זוגיים: $\{r_1,\dots ,r_k\}\subseteq \mathrm{dom}(f_{2n})$ (כל האיברים הראשונים של $X_1$ מכוסים).
• בשלבים אי-זוגיים: $\{q_1,\dots ,q_k\}\subseteq \mathrm{Im}(f_{2n+1})$ (כל האיברים הראשונים של $\mathbb{Q}$ מכוסים).

שלב $0$: $f_0(r_1)=q_1$.

שלב $2n\to 2n+1$ (הוספת איבר לתחום): נבחר $r_i$ קטן ביותר שאינו ב-$\mathrm{dom}(f_{2n})$. $r_i$ נמצא ב-”משבצת” מסוימת בין האיברים שכבר מוגדרים ב-$\mathrm{dom}(f_{2n})$. מכיוון שהסדר על $\mathbb{Q}$ הוא צפוף חסר קצוות, קיים $q_j\in \mathbb{Q}$ שאינו ב-$\mathrm{Im}(f_{2n})$ ונמצא בדיוק באותה “משבצת” ב-$\mathbb{Q}$. נגדיר $f_{2n+1}(r_i)=q_j$.

שלב $2n+1\to 2n+2$ (הוספת איבר לתמונה): בצורה סימטרית, נוודא שהאיבר הקטן ביותר של $\mathbb{Q}$ שאינו בתמונה יכנס לתמונה.

שלב 3: $f={\bigcup }_n{f}_n$ היא איזומורפיזם

• תחום כל $X_1$: בכל שלב זוגי, $r_n$ נכנס לתחום. לכן $\mathrm{dom}(f)=X_1$.
• תמונה כל $\mathbb{Q}$: בכל שלב אי-זוגי, $q_n$ נכנס לתמונה. לכן $f$ על $\mathbb{Q}$.
• שמירת סדר: בכל שלב, $f_n$ שומרת סדר (ממש לפי הבנייה).

לכן $f$ היא איזומורפיזם. ■

הערות

• המשפט לא נכון עבור $\mathbb{R}$ (ישנם סדרים צפופים חסרי קצוות לא בני-מניה שאינם איזומורפיים ל-$\mathbb{Q}$).
• ההנחה “חסר קצוות” הכרחית: $[0,1]\cap \mathbb{Q}$ לא איזומורפי ל-$\mathbb{Q}$ (יש מינימום).
• דוגמה: הסדר ההפוך על $\mathbb{Q}$ ($a{<}^{\ast }b⟺a>b$) הוא דוגמה נוספת לסדר קווי צפוף חסר קצוות בן-מניה — ולפי המשפט הוא איזומורפי ל-$(\mathbb{Q},<)$.

ראה גם

• קבוצה סדורה קווית
• איזומורפיזם
• המספרים הממשיים