ראשי

תורת הקבוצות

על הקורס

הקורס בונה את המספרים הממשיים מאפס — מתחיל מאקסיומות של קבוצות, בונה את מושג הסדר, מגדיר “שלמות”, ומוכיח שיש מבנה יחיד (עד איזומורפיזם) המקיים את כל התכונות הרצויות. בדרך נלמדים כלים: סדרים טובים, אינדוקציה טרנסינסופית, ומשפט קנטור על מבני סדר ספירים.

---

1. תשתית — עולם הקבוצות

העולם של הקבוצות — אקסיומות ZF, פרדוקס ראסל, זוגות סדורים, פעולות על קבוצות.

אקסיומות ZF בקצרה:

אקסיומה	משמעות
היקפיות	קבוצות שוות ⟺ אותם איברים
הפרדה	$\{x\in A\mid \phi (x)\}$ קבוצה
זיווג	לכל $x,y$ יש $\{x,y\}$
איחוד	$\bigcup A$ קבוצה
קבוצת חזקה	$\mathcal{P}(A)$ קבוצה
אינסוף	$\mathbb{N}$ קיימת

פרדוקס ראסל

$\{x\mid x\notin x\}$ אינה קבוצה — זה מה שמונע מהאקסיומות לסתור את עצמן.

תכונות של פונקציות — חח”ע, על, ביקציה, שוויון עוצמה.

---

2. סדרות קוויות

קבוצה סדורה קווית — הגדרה ($<$ לינארי), דוגמאות: $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{Z}$.

תכונות מיוחדות:

תכונה	הגדרה	דוגמה
צפיפות	בין כל שניים יש שלישי	$\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$
ללא קצוות	אין מינימום ואין מקסימום	$\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$
שלמות דדקינד	כל חלוקה $A\mid B$ מוגדרת על ידי איבר	$\mathbb{R}$ (לא $\mathbb{Q}$!)

איזומורפיזם — הגדרה (ביקציה שומרת סדר), תכונות משתמרות.

---

3. בניית $\mathbb{R}$ — חתכי דדקינד

הבעיה: $\mathbb{Q}$ “חסרה חורים” — $\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$. איך בונים מבנה שלם?

הפתרון (דדקינד, 1872): כל “חור” ב-$\mathbb{Q}$ מוגדר על ידי חתך — חלוקה של $\mathbb{Q}$ לשני חלקים.

חתך דדקינד — הגדרה, חתכים רציונליים (${\alpha }_r$) ואי-רציונליים (${\alpha }_{\sqrt{2}}$), ארבע תכונות החתך.

כלומר, חתך הוא זוג $(A,B)$ כאשר $A\cup B=\mathbb{Q}$, $A<B$, ול-$A$ אין מקסימום.

שלמות דדקינד — כל סדר קווי שבו כל חלוקה “נסגרת” על ידי איבר.

למה $\mathbb{Q}$ לא שלמה

החלוקה $A=\{q\in \mathbb{Q}:q^2<2\}$, $B=\{q\in \mathbb{Q}:q^2>2\}$ אינה נסגרת ב-$\mathbb{Q}$ — $\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$.

---

4. המשפטים המרכזיים

שלמות קבוצת החתכים

קבוצת החתכים היא סדר שלם — $(\mathbb{D},<)$ (קבוצת כל החתכים) היא שלמה: כל קבוצה חסומה מלעיל יש לה sup, המחושב כאיחוד.

כלומר, $A\subseteq \mathbb{D}$ חסומה מלעיל $\Rightarrow \sup (A)={\bigcup }_{\alpha \in A}\alpha$ (החתך כאיחוד).

איזומורפיזם של בניות שונות

השלמות דדקינד של קבוצות איזומורפיות הן איזומורפיות — אם $(X,<)\cong (Y,<)$ (שניהם צפופים, ספירים, ללא קצוות), אז גם ההשלמות דדקינד שלהם איזומורפיות.

המשפט הבסיסי

המספרים הממשיים — קיום ויחידות: יש סדר קווי שלם יחיד (עד איזומורפיזם) שמרחיב את $\mathbb{Q}$. זהו $\mathbb{R}$.

---

5. משפט קנטור — מבני סדר ספירים

השאלה: בהינתן שתי קבוצות סדורות ספירות, צפופות, ללא קצוות — האם הן חייבות להיות איזומורפיות?

משפט קנטור — כן! כל שתי קבוצות כאלה איזומורפיות. (כלומר, $\mathbb{Q}$ היא היחידה מסוגה עד איזומורפיזם.)

שיטת ההוכחה — back-and-forth: בונים $f:X\to Y$ בצעדים:

• “forth”: מרחיבים את $f$ כך שתכסה איבר חדש ב-$X$.
• “back”: מרחיבים את $f^{-1}$ כך שתכסה איבר חדש ב-$Y$.

הספיריות מבטיחה שהתהליך מסתיים בהצלחה.

---

6. סדרים טובים

עקרון הסדר הטוב — סדר קווי שבו לכל תת-קבוצה לא-ריקה יש מינימום.

דוגמה: $(\mathbb{N},<)$ — כן. $(\mathbb{Z},<)$ — לא. $(\mathbb{R},<)$ — לא (עם הסדר הרגיל).

תכונות:

• לכל איבר יש עוקב מיידי (או שהוא מקסימום).
• אינדוקציה טרנסינסופית — הכללת האינדוקציה הרגילה.
• המשפט המרכזי: כל שתי קבוצות סדורות היטב ניתנות להשוואה — אחת איזומורפית לרישא של השנייה.

ההבחנה החשובה:

איזומורפיזם ועוצמות — $|A|=|B|$ (ביקציה כלשהי) שונה מ-$A\cong B$ (ביקציה שומרת סדר). ייתכן שוויון עוצמה ללא איזומורפיזם!

---

7. סודרים

סודר — קבוצה טרנזיטיבית הסדורה היטב על ידי $\in$. הסודרים הם נציגים קנוניים לכל הסדרים הטובים — כל סדר טוב איזומורפי לסודר יחיד.

דוגמאות: $\varnothing ,\{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\},\dots$

בניית הסודר הבא: $\alpha \mapsto \alpha \cup \{\alpha \}$ — ראה איחוד סודר עם האיבר שלו הוא סודר.

תכונות מבניות:

טענה	משמעות
רישא של סודר היא סודר	תת-קבוצה ראשונית היא עצמה סודר
תת-קבוצה ממש של סודר היא איבר בו	$\alpha \subset \beta \Rightarrow \alpha \in \beta$
סודר אינו שייך לעצמו	$\alpha \notin \alpha$ לכל סודר $\alpha$

---

8. מחלקת הסודרים ואקסיומת ההחלפה

מטרה: להראות שכל קבוצה סדורה היטב מיוצגת על ידי סודר יחיד.

פונקציית מחלקה — הכללה של פונקציה לתחומים שאינם קבוצות, ואקסיומת ההחלפה: $F(W)$ קבוצה לכל פונקציית מחלקה $F$ וקבוצה $W$.

הסדר על $\text{Ord}$:

• כל שני סודרים ניתנים להשוואה — לכל $\alpha ,\beta$ סודרים: $\alpha \subseteq \beta$ או $\beta \subseteq \alpha$. הסדר $\in$ הוא קווי על $\text{Ord}$.
• מחלקת הסודרים סדורה היטב — לכל $S\subseteq \text{Ord}$ לא-ריקה יש איבר מזערי.

המשפט המרכזי:

כל קבוצה סדורה היטב איזומורפית לסודר יחיד — לכל $(A,<)$ סדורה היטב קיים סודר יחיד ${\alpha }_A$ (טיפוס הסדר) כך ש-$(A,<)\cong ({\alpha }_A,\in )$.

---

מסלול לימוד

1. עולם הקבוצות (אקסיומות)
2. קבוצות סדורות קוויות
   • ספירות + צפיפות → משפט קנטור
   • חתכי דדקינד → $\mathbb{R}$ קיים ויחיד
3. סדרים טובים → אינדוקציה טרנסינסופית
4. סודרים → נציגים קנוניים של סדרים טובים
5. מחלקת הסודרים + אקסיומת ההחלפה → כל סדר טוב מיוצג על ידי סודר יחיד