תת-קבוצה ממש של סודר היא איבר בו

הטענה

אם $\alpha ,\beta$ הם סודרים ו-$\alpha \subset \beta$ (כלילה ממש), אז $\alpha \in \beta$.

הוכחה

נסמן $\gamma :=\min \{\beta \setminus \alpha \}$ (קיים מינימום כי $\beta \setminus \alpha$ תת-קבוצה לא-ריקה של $\beta$ שהיא סדורה היטב). נרצה להוכיח ש-$\gamma =\alpha$.

מאקסיומת ההיקפיות מספיק להוכיח:

$$x\in \gamma ⟺x\in \alpha$$

כיוון $(\Rightarrow )$: אם $x\in \gamma$: אז $x<\gamma$ (ביחס $\in$), לכן מהגדרת $\gamma$ כמינימום של $\beta \setminus \alpha$ מתקיים $x\notin \beta \setminus \alpha$, כלומר $x\in \alpha$.

כיוון $(\Leftarrow )$: אם $x\in \alpha$: מכיוון ש-$\alpha$ סודר (טרנזיטיבי), מתקיים $x\subseteq \alpha$, ולכן כל $y\in x$ שייך ל-$\alpha$. בפרט $x<\gamma$ ולכן $x\in \gamma$. ■

הערה

מסקנה: אם $\alpha \subset \beta$ הם סודרים, אז $\alpha$ היא רישא של $\beta$. אכן, אם $x\in \alpha$ ו-$y<x$, אז $y\in x\subseteq \alpha$.

ראה גם

• סודר
• עקרון הסדר הטוב
• רישא של סודר היא סודר
• סודר אינו שייך לעצמו