כל שני סודרים ניתנים להשוואה

הטענה

אם $α$ ו- $β$ סודרים, אז $α \subseteq β$ או $β \subseteq α$ .

ניסוח שקול: לכל שני סודרים $α, β$ , מתקיים בדיוק אחד מהבאים: $α \in β$ , $β \in α$ , או $α = β$ .

הוכחה

נסמן $γ = α \cap β$ . ראשית, $γ$ הוא סודר: חיתוך של שתי קבוצות טרנזיטיביות הוא טרנזיטיבי, והיחס $\in$ על $γ$ הוא סדר טוב כיוון שהוא הגבלת הסדר של $α$ .

כעת, $γ$ הוא רישא של $α$ : אם $x \in γ$ ו- $y \in α$ עם $y \in x$ , אז $y \in α$ (כי $α$ טרנזיטיבי) וגם $y \in β$ (כי $β$ טרנזיטיבי ו- $x \in β$ ). לכן $y \in γ$ . בדומה, $γ$ הוא רישא של $β$ .

נניח לסתירה ש- $γ ⊊ α$ וגם $γ ⊊ β$ . לפי תת-קבוצה ממש של סודר היא איבר בו, $γ \in α$ וגם $γ \in β$ . לכן $γ \in α \cap β = γ$ , כלומר $γ \in γ$ — סתירה ל-סודר אינו שייך לעצמו.

לכן $γ = α$ או $γ = β$ , כלומר $α \subseteq β$ או $β \subseteq α$ . ■

מסקנה: הסדר $\in$ על $Ord$ הוא קווי

מהטענה ומ-תת-קבוצה ממש של סודר היא איבר בו נובע שהיחס $\in$ הוא סדר קווי על מחלקת הסודרים $Ord$ : לכל שני סודרים $α \neq = β$ , מתקיים $α \in β$ או $β \in α$ .

ויקי מתמטיקה

סייר

כל שני סודרים ניתנים להשוואה

כל שני סודרים ניתנים להשוואה

הטענה

הוכחה

מסקנה: הסדר $\in$ על $Ord$ הוא קווי

ראה גם

מבט גרף

תוכן עניינים

קישורים חוזרים

ויקי מתמטיקה

סייר

כל שני סודרים ניתנים להשוואה

כל שני סודרים ניתנים להשוואה

הטענה

הוכחה

מסקנה: הסדר ∈ על Ord הוא קווי

ראה גם

מבט גרף

תוכן עניינים

קישורים חוזרים

מסקנה: הסדר $\in$ על $Ord$ הוא קווי