סודר

הגדרה

קבוצה $X$ היא סודר אם היא טרנזיטיבית וסדורה היטב על ידי $\in$.

פירוט

היחס $\in$ על $X$ מקיים:

1. אי-רפלקסיביות
2. אנטי-סימטריה
3. טרנזיטיביות
4. השוואה — לכל $x\ne y$ ב-$X$: $x\in y$ או $y\in x$

כלומר, $\in$ הוא סדר קווי על $X$, ובנוסף הסדר הוא סדר טוב.

אינטואיציה

הסודרים נבנים מרישות של הסדר — כל סודר הוא אוסף כל הסודרים הקטנים ממנו. הסודרים הם נציגים קנוניים לכל הסדרים הטובים האפשריים: כל סדר טוב איזומורפי לסודר יחיד.

דוגמאות קנוניות

1. הקבוצה הריקה $\varnothing$ היא סודר: טרנזיטיבית באופן ריק וסדורה היטב באופן ריק.
2. הקבוצה $\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}$ היא סודר.
3. הקבוצה $\{\varnothing ,\{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\}$ היא סודר.

תכונות

• איחוד סודר עם האיבר שלו הוא סודר — אם $\alpha$ סודר, אז $\alpha \cup \{\alpha \}$ גם סודר.
• רישא של סודר היא סודר
• תת-קבוצה ממש של סודר היא איבר בו
• סודר אינו שייך לעצמו — לכל סודר $\alpha$, $\alpha \notin \alpha$.

ראה גם

• קבוצה טרנזיטיבית
• עקרון הסדר הטוב
• איזומורפיזם