משפט קיילי-המילטון

הטענה

אם $A \in M_{n} (F)$ אז $P_{A} (A) = 0_{M}$ — כלומר כאשר מציבים את המטריצה $A$ בהפולינום האופייני שלה, מקבלים את מטריצת האפס.

מה זה אומר

P_{A} (A) = A^{n} + a_{n - 1} A^{n - 1} + \dots + a_{0} I = 0_{M}

ניתן להביע $A^{n}$ כצירוף ליניארי של $I, A, \dots, A^{n - 1}$ .

למה זה לא טריוויאלי?

הטעות הנפוצה: “נציב $A$ ב- $det (A - x I)$ , נקבל $det (A - A \cdot I) = det (0) = 0$ .”

זו שגיאה: $P_{A} (x)$ היא פונקציה של סקלר $x$ , ואילו $P_{A} (A)$ היא הצבת מטריצה בפולינום — שני דברים שונים לחלוטין.

הוכחה

שלב 1: עבור מטריצה לכסינה

אם $A$ לכסינה, קיים $P$ הפיך כך ש- $A = P^{- 1} D P$ ( $D$ אלכסונית). אז $P_{A} = P_{D}$ ו:

P_{A} (A) = P^{- 1} P_{D} (D) P = (D - λ_{1} I) \dots (D - λ_{k} I) P^{- 1} \cdot P = 0_{M}

כי $D - λ_{i} I$ היא מטריצה אלכסונית עם ערכים $(λ_{j} - λ_{i})$ — ובמכפלה הבלוקית מתקבל אפס.

שלב 2: עבור מטריצה ניתנת לשילוש

נניח $A$ ניתנת לשילוש — קיים $P$ הפיך ו- $U$ משולשית עליונה כך ש- $A = P^{- 1} U P$ .

P_{A} (A) = P^{- 1} P_{U} (U) P

מספיק להוכיח $P_{U} (U) = 0$ .

נגדיר $U_{i} = U - λ_{i} I_{n}$ . אז $P_{U} (U) = U_{1} \dots U_{n}$ .

למה:

$U_{i} U_{j} = U_{j} U_{i}$ (כי הן פולינומים של $U$ — ראו: $f (A) g (A) = g (A) f (A)$ ).
אינדוקציה: נוכיח ש- $(U_{1} \dots U_{k}) e_{i} = 0$ לכל $i \leq k$ .

בסיס ( $k = 1$ ): $(U - λ_{1} I) e_{1}$ . מכיוון ש- $U$ משולשית עליונה עם $λ_{1}, \dots, λ_{n}$ באלכסון, העמודה הראשונה של $(U - λ_{1} I)$ היא הווקטור שבמקום הראשון יש $(u_{11} - λ_{1}) = 0$ ובשאר אפסים — כי $u_{11} = λ_{1}$ (האיבר הראשון באלכסון). לכן $(U - λ_{1} I) e_{1} = 0$ .

צעד אינדוקציה: נניח $(U_{1} \dots U_{r - 1}) e_{i} = 0$ לכל $i \leq r - 1$ . עבור $i = r$ : $(U - λ_{r} I) e_{r}$ שווה לוקטור שהאיבר ה- $r$ שלו הוא $u_{rr} - λ_{r} = 0$ , ושאר האיברים ממקום $r + 1$ ומטה הם $0$ . לכן $(U - λ_{r} I) e_{r} \in span (e_{1}, \dots, e_{r - 1})$ . לפי הנחת האינדוקציה:

(U_{1} \dots U_{r - 1}) (U_{r} e_{r}) = 0

לכן $P_{U} (U) e_{i} = 0$ לכל $i$ , כלומר $P_{U} (U) = 0$ . $■$

שלב 3: מטריצה כללית

עבור $A \in M_{n} (F)$ כללית, נעבוד מעל $\overset{ˉ}{F}$ (הסגור האלגברי). מעל $\overset{ˉ}{F}$ , $P_{A}$ מתפצל לגורמים ליניאריים, ולכן $A$ ניתנת לשילוש מעל $\overset{ˉ}{F}$ . לפי שלב 2, $P_{A} (A) = 0$ מעל $\overset{ˉ}{F}$ , ומכיוון שהחישוב מתבצע ב- $F$ , מתקיים גם שם. $■$

מסקנות

$A^{n}$ ניתן להביע כצירוף ליניארי של $I, A, \dots, A^{n - 1}$ .
הפולינום המינימלי $m_{A}$ מחלק את $P_{A}$ .

ויקי מתמטיקה

סייר

משפט קיילי המילטון

משפט קיילי-המילטון

הטענה

מה זה אומר

למה זה לא טריוויאלי?

הוכחה

שלב 1: עבור מטריצה לכסינה

שלב 2: עבור מטריצה ניתנת לשילוש

שלב 3: מטריצה כללית

מסקנות

ראה גם

מבט גרף

תוכן עניינים

קישורים חוזרים