לכסון

הגדרה

מטריצה לכסינה

מטריצה $A\in M_n(F)$ נקראת לכסינה אם היא דומה למטריצה אלכסונית $D$, כלומר קיימת מטריצה הפיכה $P$ כך ש-$P^{-1}AP=D$.

אופרטור לכסין

אופרטור $T:V\to V$ נקרא לכסין אם קיים בסיס $B$ של $V$ ביחס אליו המטריצה המייצגת $[T{]}_B$ היא מטריצה אלכסונית.

תנאים שקולים

הטענות הבאות שקולות (ראו מטריצה לכסינה אםם הריבוי הגאומטרי שווה לריבוי האלגברי):

1. $T$ לכסין.
2. קיים בסיס של $V$ המורכב מוקטורים עצמיים של $T$.
3. סכום הריבויים הגיאומטריים שווה ל-$n=\dim V$.
4. הפולינום האופייני מתפצל לגורמים ליניאריים ולכל ע”ע $\lambda$: $m_{\lambda }=n_{\lambda }$ (ריבוי אלגברי = גיאומטרי).

תהליך הלכסון

1. חישוב הפולינום האופייני $P_A(x)=\det (A-xI)$.
2. מציאת שורשים ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_k$ — אלה הערכים העצמיים.
3. חישוב ריבויים גיאומטריים $m_{{\lambda }_i}=\dim V_{{\lambda }_i}=\dim \ker (A-{\lambda }_{i}I)$.
4. בדיקת לכסינות: המטריצה $A$ לכסינה אם ורק אם:

$$\sum _i{m}_{{\lambda }_i}=n$$

5. בניית הבסיס המלכסן: $P$ היא המטריצה שעמודותיה הן וקטורים עצמיים (בסיס של כל $V_{{\lambda }_i}$ בזה אחר זה).
6. המטריצה האלכסונית: $D=P^{-1}AP$ עם ${\lambda }_i$ באלכסון.

מוטיבציה

חישוב חזקות של מטריצה אלכסונית פשוט:

$$D^k=\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1^k& & \\ & \ddots & \\ & & {\lambda }_n^k\end{array}\right),A^k=P{D}^k{P}^{-1}$$

דוגמה

תהי $A=\left(\begin{array}{cc}2& -14\\ -1& 7\end{array}\right)$, $v_1=\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right)$, $v_2=\left(\begin{array}{c}7\\ 1\end{array}\right)$ וקטורים עצמיים עם ע”ע $9$ ו-$0$ בהתאמה:

$$P=\left(\begin{array}{cc}-2& 7\\ 1& 1\end{array}\right),D=P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cc}9& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$$

ראה גם

• ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים
• ריבוי אלגברי וריבוי גאומטרי
• מטריצה אלכסונית
• דמיון מטריצות
• שילושים