אופרטור לכסין אםם צירוף הטלות מקביליות

אופרטור לכסין אמ”מ צירוף הטלות מקביליות

הטענה

יהי $T:V\to V$ אופרטור ליניארי. אזי $T$ לכסין אם ורק אם קיים פירוק:

$$V=\underset{i=1}{\overset{k}{⨁}}{W}_i$$

וסקלרים $c_1,\dots ,c_k\in F$ כך ש: $T={\sum }_{i=1}^k{c}_i{P}_i$ כאשר $P_i$ הן ההטלות המקביליות ביחס לפירוק.

הוכחה

$(\Rightarrow )$ אם $T$ לכסין

נניח $T$ לכסין עם ערכים עצמיים שונים ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_k$. לפי אופרטור לכסין אםם המרחבים העצמיים בסכום ישר, מתקיים $V={⨁}_{i=1}^k{V}_i$ כאשר $V_i=\ker (T-{\lambda }_i\mathrm{Id})$ הם המרחבים העצמיים. יהי $P_i$ ההטלה המקבילית על $V_i$.

לכל $v_i\in V_i$ מתקיים $T{v}_i={\lambda }_i{v}_i={\lambda }_i{P}_i{v}_i$, ולכל $j\ne i$ מתקיים $P_j{v}_i=0$. לכן לכל $v\in V$ עם הצגה $v=\sum v_i$: $Tv={\sum }_{i=1}^{k}T{v}_i={\sum }_{i=1}^k{\lambda }_i{v}_i={\sum }_{i=1}^k{\lambda }_i{P}_{i}v$

לכן $T={\sum }_{i=1}^k{\lambda }_i{P}_i$. ■

$(\Leftarrow )$ אם $T=\sum c_i{P}_i$

יהי $v_i\in W_i$ איבר שרירותי. מכיוון ש-$P_j{v}_i=0$ לכל $j\ne i$ ו-$P_i{v}_i=v_i$, מתקיים: $T{v}_i={\sum }_{j=1}^k{c}_j{P}_j{v}_i=c_i{v}_i$

לכן כל $v_i\in W_i$ הוא וקטור עצמי של $T$ עם ערך עצמי $c_i$. מכיוון ש-$V=⨁W_i$, קיים בסיס של וקטורים עצמיים, ולכן $T$ לכסין לפי אופרטור לכסין אםם קיים בסיס וקטורים עצמיים. ■

ראה גם

• לכסון
• הטלה מקבילית
• סכום ישר
• אופרטור לכסין אםם המרחבים העצמיים בסכום ישר
• אופרטור לכסין אםם קיים בסיס וקטורים עצמיים
• משפט הפירוק הפרימרי