אופרטור לכסין אםם קיים בסיס וקטורים עצמיים

אופרטור לכסין אמ”מ קיים בסיס של וקטורים עצמיים

הטענה

יהי $V$ מרחב וקטורי מעל $F$ עם $\dim V=n$ ויהי $T:V\to V$ אופרטור ליניארי. אז $T$ לכסין אם ורק אם קיים בסיס $\mathcal{B}=\{v_1,\dots ,v_n\}$ של $V$ המורכב מוקטורים עצמיים של $T$.

הוכחה

$(\Rightarrow )$ אם $T$ לכסין אז קיים בסיס של וקטורים עצמיים

נניח $T$ לכסין, כלומר קיים בסיס $\mathcal{B}=\{v_1,\dots ,v_n\}$ של $V$ כך ש-$[T{]}_{\mathcal{B}}$ היא מטריצה אלכסונית:

$$[T{]}_{\mathcal{B}}=\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$$

פירוש: $T{v}_i={\lambda }_i{v}_i$ לכל $i=1,\dots ,n$. לכן כל $v_i$ הוא וקטור עצמי של $T$ עם ערך עצמי ${\lambda }_i$. $■$

$(\Leftarrow )$ אם קיים בסיס של וקטורים עצמיים אז $T$ לכסין

נניח $\mathcal{B}=\{v_1,\dots ,v_n\}$ בסיס של $V$ כך ש-$T{v}_i={\lambda }_i{v}_i$ לכל $i$. ביחס לבסיס זה:

$$[T{]}_{\mathcal{B}}=\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$$

כי העמודה ה-$i$ של $[T{]}_{\mathcal{B}}$ היא $[T{v}_i{]}_{\mathcal{B}}=[{\lambda }_i{v}_i{]}_{\mathcal{B}}={\lambda }_i{e}_i$. זוהי מטריצה אלכסונית, לכן $T$ לכסין לפי הגדרת לכסינות. $■$

מסקנה

הלכסון של $T$ הוא בדיוק מציאת בסיס של וקטורים עצמיים. ביחס לבסיס כזה, $T$ פועל “קואורדינטה אחר קואורדינטה” — כפל בסקלר בכל ציר.

ראה גם

• לכסון
• ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים
• מטריצה אלכסונית
• אופרטור לכסין אםם המרחבים העצמיים בסכום ישר