מטריצה אלכסונית

הגדרה

מטריצה $A \in M_{n} (F)$ נקראת אלכסונית אם $a_{ij} = 0$ לכל $i \neq = j$ , כלומר כל הכניסות מחוץ לאלכסון הראשי הן אפס:

A = d_{1} 0 ⋮ 0 0 d_{2} 0 \dots \dots ⋱ \dots 00 ⋮ d_{n}

נסמן לעתים $A = diag (d_{1}, \dots, d_{n})$ .

כפל: $diag (d_{1}, \dots, d_{n}) \cdot diag (e_{1}, \dots, e_{n}) = diag (d_{1} e_{1}, \dots, d_{n} e_{n})$ .
הפיכות: $diag (d_{1}, \dots, d_{n})$ הפיכה אם ורק אם $d_{i} \neq = 0$ לכל $i$ , ואז $A^{- 1} = diag (d_{1}^{- 1}, \dots, d_{n}^{- 1})$ .
חזקות: $A^{m} = diag (d_{1}^{m}, \dots, d_{n}^{m})$ .
דטרמיננטה: $det (A) = d_{1} \cdot d_{2} \dots d_{n}$ .
ערכים עצמיים: הערכים העצמיים של מטריצה אלכסונית הם בדיוק $d_{1}, \dots, d_{n}$ (כניסות האלכסון), עם וקטורים עצמיים $e_{i}$ (וקטורי הבסיס הסטנדרטי).

מטריצה אלכסונית היא הצורה הפשוטה ביותר של מטריצה מייצגת. אם אופרטור $T$ ניתן לייצוג על ידי מטריצה אלכסונית בבסיס מסוים, אז $T$ הוא לכסין. ראו אופרטור לכסין אםם קיים בסיס וקטורים עצמיים.