וקטורים עצמיים מערכים עצמיים שונים בלתי תלויים ליניארית

הטענה

יהי $T:V\to V$ אופרטור ליניארי. אם $v_{{\lambda }_1},\dots ,v_{{\lambda }_k}$ הם וקטורים עצמיים של $T$ מערכים עצמיים שונים ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_k$ (${\lambda }_i\ne {\lambda }_j$ לכל $i\ne j$), אז הם בלתי תלויים ליניארית.

הוכחה (באינדוקציה / בשלילה)

נניח בשלילה שקיים צירוף ליניארי לא טריוויאלי (עם מינימום מקדמים שונים מ-$0$) השווה לאפס:

$$(A)\sum _{i=1}^k{a}_i{v}_{{\lambda }_i}=0$$

נפעיל את $T$ על השוויון $(A)$:

$$T(A):\sum _{i=1}^k{a}_{i}T(v_{{\lambda }_i})=\sum _{i=1}^k{a}_i{\lambda }_i{v}_{{\lambda }_i}=0$$

נחסר ${\lambda }_1\cdot (A)$ מ-$T(A)$:

$$T(A)-{\lambda }_1(A):\sum _{i=2}^k{a}_i({\lambda }_i-{\lambda }_1)v_{{\lambda }_i}=0$$

זהו צירוף ליניארי קצר יותר (ללא $v_{{\lambda }_1}$). הוא לא טריוויאלי: בהנחה ש-$a_j\ne 0$ עבור $j\ge 2$, המקדם $a_j({\lambda }_j-{\lambda }_1)\ne 0$ כי ${\lambda }_j\ne {\lambda }_1$.

על כן קיבלנו צירוף ליניארי לא טריוויאלי קצר יותר, בסתירה להנחה שהצירוף המקורי $(A)$ היה קצר ביותר. $■$

מסקנה

אם $T$ מעל $F$ ויש לו $n=\dim V$ ערכים עצמיים שונים, אז $T$ לכסין — כי אז הוקטורים העצמיים מהווים בסיס.

ראו: אם קיימים ערכים עצמיים שונים כגודל הבסיס אז האופרטור לכסין

ראה גם

• ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים
• לכסון
• אופרטור לכסין אםם המרחבים העצמיים בסכום ישר