ריבוי אלגברי וריבוי גאומטרי

הגדרות

תהי $A\in M_n(F)$ ו-$\lambda \in \sigma (A)$ ערך עצמי.

הריבוי האלגברי ($n_{\lambda }$)

הריבוי האלגברי של $\lambda$ הוא המספר הגדול ביותר $k$ כך שגורם $(x-\lambda {)}^k$ מחלק את הפולינום האופייני $P_A(x)$:

$$(x-\lambda {)}^{n_{\lambda }}\mid P_A(x),(x-\lambda {)}^{n_{\lambda }+1}\nmid P_A(x)$$

הריבוי הגיאומטרי ($m_{\lambda }$)

הריבוי הגיאומטרי של $\lambda$ הוא מימד המרחב העצמי:

$$m_{\lambda }=\dim V_{\lambda }=\dim \ker (A-\lambda I)$$

תכונה מרכזית

$$1\le m_{\lambda }\le n_{\lambda }$$

ראו: הריבוי האלגברי גדול מהריבוי הגאומטרי

תנאי לכסינות

המטריצה $A$ לכסינה אם ורק אם לכל $\lambda \in \sigma (A)$: $m_{\lambda }=n_{\lambda }$.

ראו: מטריצה לכסינה אםם הריבוי הגאומטרי שווה לריבוי האלגברי

דוגמאות

דוגמה 1 — לכסינה: תהי $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 3\end{array}\right)$: $P_A(x)=(x-2)(x-3)$. לכל ע”ע $n_{\lambda }=1$, $m_{\lambda }=1$ — לכסינה.

דוגמה 2 — לא לכסינה: תהי $U=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$: $P_U(x)=(x-1{)}^2$, ולכן $n_1=2$. אך $\dim V_1=1=m_1\ne n_1$ — לא לכסינה.

ראה גם

• הפולינום האופייני
• לכסון
• הריבוי האלגברי גדול מהריבוי הגאומטרי