הריבוי האלגברי גדול מהריבוי הגאומטרי

הטענה

יהי $T:V\to V$ אופרטור ליניארי ו-$\lambda \in \sigma (T)$ ערך עצמי. אז:

$$1\le m_{\lambda }\le n_{\lambda }$$

כאשר $m_{\lambda }$ הוא הריבוי הגיאומטרי ו-$n_{\lambda }$ הוא הריבוי האלגברי.

הוכחה

מתקיים $m_{\lambda }\ge 1$ כי $\lambda$ ע”ע, ולכן $V_{\lambda }\ne \{0\}$.

לצורך $m_{\lambda }\le n_{\lambda }$: נבחר $b_1,\dots ,b_{m_{\lambda }}$ בסיס של $V_{\lambda }$ ונשלים לבסיס $B=\{b_1,\dots ,b_{m_{\lambda }},u_{m_{\lambda }+1},\dots ,u_n\}$ של $V$.

ביחס לבסיס $B$, המטריצה המייצגת של $T-\lambda I$ היא:

$$[T-\lambda I{]}_B=\left(\begin{array}{cc}0& \ast \\ 0& A^{\prime }\end{array}\right)$$

(בלוק $0$ בגודל $m_{\lambda }\times m_{\lambda }$ בפינה שמאל-עליון, כי $T{b}_i=\lambda b_i$ עבור $i\le m_{\lambda }$).

לכן:

$$P_T(x)=\det ([T-xI{]}_B)=\det \left(\begin{array}{cc}\lambda -x)I_{m_{\lambda }}& \ast \\ 0& A^{\prime }-(x-\lambda )I\end{array}\right)=(\lambda -x{)}^{m_{\lambda }}\cdot q(x)$$

(כי הדטרמיננטה של מטריצה משולשית-בלוקים היא מכפלת הדטרמיננטות של הבלוקים).

לפיכך $(x-\lambda {)}^{m_{\lambda }}\mid P_T(x)$, ומהגדרת הריבוי האלגברי: $n_{\lambda }\ge m_{\lambda }$. $■$

ראה גם

• ריבוי אלגברי וריבוי גאומטרי
• מטריצה לכסינה אםם הריבוי הגאומטרי שווה לריבוי האלגברי