הפולינום המינימלי

הטענה (הגדרה ויחידות)

תהי $A \in M_{n} (F)$ . קיים פולינום מתוקן שונה מאפס יחיד ממעלה קטנה ביותר $m_{A} (x)$ המאפס את $A$ , כלומר $m_{A} (A) = 0$ (הצבת מטריצה בפולינום).

הפולינום $m_{A}$ נקרא הפולינום המינימלי של $A$ .

הוכחה

קיום

ממשפט קיילי המילטון, הפולינום האופייני $P_{A}$ מאפס את $A$ : $P_{A} (A) = 0$ . כמו כן $P_{A}$ מתוקן. לכן קיים פולינום מתוקן שאינו אפס המאפס את $A$ .

יחידות

יהי $m_{A} (x)$ פולינום מתוקן ממעלה מינימלית המקיים $m_{A} (A) = 0$ . אם $g (x)$ פולינום מתוקן נוסף עם $de g g = de g m_{A}$ ו- $g (A) = 0$ , נסתכל על $h = m_{A} - g$ :

h (A) = m_{A} (A) - g (A) = 0 - 0 = 0

אך $m_{A}$ ו- $g$ מתוקנים ובעלי אותה מעלה, לכן $de g (m_{A} - g) < de g m_{A}$ . מהמינימליות של מעלת $m_{A}$ , חייב להיות $m_{A} - g = 0$ , כלומר $m_{A} = g$ . $■$

תכונות

$m_{A} (x)$ מחלק כל פולינום $p (x)$ המקיים $p (A) = 0$ .
$m_{A} (x)$ מחלק את $P_{A} (x)$ (הפולינום האופייני).
$m_{A}$ ו- $P_{A}$ חולקים את אותם שורשים (אך ייתכן שבריבויים שונים).
המטריצה $A$ לכסינה אם ורק אם $m_{A} (x)$ מתפצל לגורמים ליניאריים שונים (ללא ריבויים).

דוגמאות

תהי $A = (2002) = 2 I$ : $P_{A} (x) = (x - 2)^{2}$ , אך $m_{A} (x) = x - 2$ (כי $(A - 2 I) = 0$ ).

ועבור $U = (1011)$ : $P_{U} (x) = (x - 1)^{2}$ . נבדוק: $(U - I)^{2} = (0010)^{2} = 0$ ואילו $(U - I) = (0010) \neq = 0$ . לכן $m_{U} (x) = (x - 1)^{2} = P_{U} (x)$ .

ויקי מתמטיקה

סייר

הפולינום המינימלי

הפולינום המינימלי

הטענה (הגדרה ויחידות)

הוכחה

קיום

יחידות

תכונות

דוגמאות

ראה גם

מבט גרף

תוכן עניינים