הפולינום המינימלי מחלק את האופייני ומחלקים זה את חזקת השני

הטענה

תהי $A \in M_{n} (F)$ . מתקיים:

m_{A} ∣ P_{A} ∣ m_{A}^{n}

נחלק את הפולינום האופייני בפולינום המינימלי: קיימים $q, r \in F [x]$ כך ש

P_{A} = q m_{A} + r

ו- $de g (r) < de g (m_{A})$ . נציב את $A$ ונקבל

P_{A} (A) = q (A) m_{A} (A) + r (A)

ממשפט קיילי המילטון מתקיים $P_{A} (A) = 0$ , ומהגדרת הפולינום המינימלי מתקיים $m_{A} (A) = 0$ . לכן $r (A) = 0$ .

מהמינימליות של דרגת $m_{A}$ , ופולינום $r$ עם $de g (r) < de g (m_{A})$ המאפס את $A$ , חייב להיות $r = 0$ . לכן $m_{A} ∣ P_{A}$ . ■

נתבונן ב- $P_{A}$ כפולינום ב- $\overset{ˉ}{F} [x]$ כאשר $\overset{ˉ}{F}$ הוא הסגור האלגברי של $F$ . ניתן לכתוב

P_{A} = i = 1 \prod n (x - λ_{i})

כי $\overset{ˉ}{F}$ סגור אלגברית. נראה כי $(x - λ_{i}) ∣ m_{A}$ לכל $i$ :

נניח בשלילה כי קיים $i$ כך ש- $(x - λ_{i}) ∤ m_{A}$ . מאלגוריתם אוקלידס קיימים $a, b \in \overset{ˉ}{F} [x]$ כך ש

a (x - λ_{i}) + b m_{A} = 1

נציב $A$ :

a (A) (A - λ_{i} I) + b (A) m_{A} (A) = I_{n} \Rightarrow a (A) (A - λ_{i} I) = I_{n}

אך $λ_{i}$ ערך עצמי של $A$ , ולכן המטריצה $A - λ_{i} I$ אינה הפיכה (גרעינה אינו טריוויאלי). זאת בסתירה לכך ש- $a (A)$ היא ההופכית שלה.

לפיכך $(x - λ_{i}) ∣ m_{A}$ לכל $i$ , ומכאן

P_{A} = i = 1 \prod n (x - λ_{i}) ∣ m_{A}^{n} ■

לאופרטור $T$ לכסין עם ערכים עצמיים שונים $λ_{1}, \dots, λ_{k}$ מתקיים:

m_{T} (x) = (x - λ_{1}) \dots (x - λ_{k})