הפולינום האופייני הוא מתוקן וממעלת המימד

הטענה

עבור מטריצה $A\in M_n(F)$, הפולינום האופייני $P_A(x)=\det (x{I}_n-A)$ הוא פולינום מתוקן (המקדם המוביל הוא 1) ממעלה $n$.

הוכחה

נשתמש בנוסחת הדטרמיננטה כסכום על תמורות:

$$P_A(x)=\det (x{I}_n-A)=\sum _{\sigma \in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^n(x{I}_n-A{)}_{i,\sigma (i)}$$

כאשר $(x{I}_n-A{)}_{ij}=x{\delta }_{ij}-a_{ij}$.

מציאת המעלה המקסימלית: אבר בסכום התואם לתמורה $\sigma$ הוא מכפלת $n$ כניסות של $x{I}_n-A$. כל כניסה היא פולינום ממעלה לכל היותר 1 ב-$x$ (מעלה 1 אם $\sigma (i)=i$, מעלה 0 אחרת). לכן כל אבר בסכום הוא פולינום ממעלה לכל היותר $n$ ב-$x$, עם שוויון אם ורק אם $\sigma (i)=i$ לכל $i$, כלומר $\sigma =\mathrm{Id}$.

האבר התואם לתמורת הזהות:

$$\mathrm{sgn}(\mathrm{Id})\prod _{i=1}^n(x-a_{ii})=(x-a_{11})(x-a_{22})\cdots (x-a_{nn})$$

זהו פולינום ממעלה בדיוק $n$ עם מקדם מוביל $+1$.

כל שאר האברים: לכל $\sigma \ne \mathrm{Id}$, קיים $i$ כך ש-$\sigma (i)\ne i$, ולכן האבר התואם $\sigma$ הוא ממעלה לכל היותר $n-1$ (יש לפחות כניסה אחת שאינה על האלכסון, ותורמת 0 למקדם $x^n$).

לכן המקדם של $x^n$ ב-$P_A(x)$ הוא $1$, והפולינום הוא ממעלה בדיוק $n$ ומתוקן. $■$

מסקנה

ניתן לכתוב:

$$P_A(x)=x^n-(\mathrm{tr}A)x^{n-1}+\cdots +(-1{)}^n\det (A)$$

כאשר המקדם של $x^{n-1}$ הוא שלילת העקבה, והמקדם החופשי הוא $(-1{)}^n\det (A)$.

ראה גם

• הפולינום האופייני
• ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים