תנאים שקולים לסכום ישר

הטענה

יהי $V$ מרחב וקטורי מעל שדה $F$ ויהיו $W_1,\dots ,W_m\subseteq V$ תתי מרחבים. נסמן $W={\sum }_{i=1}^m{W}_i$. התנאים הבאים שקולים:

1. הסכום $W={⨁}_{i=1}^m{W}_i$ הוא ישר.
2. לכל $w\in W$ קיימת הצגה יחידה $w={\sum }_{i=1}^m{w}_i$ כאשר $w_i\in W_i$.
3. לוקטור האפס קיימת הצגה יחידה, כלומר $w_i=0$ לכל $i$ היא ההצגה היחידה של $0$.
4. אם $B_1,\dots ,B_m$ בסיסים זרים ל-$W_1,\dots ,W_m$ בהתאמה, אז הקבוצה הבאה היא בסיס של $W$:

$$\bigcup _{i=1}^m{B}_i$$

5. מתקיים:

$$\dim W=\sum _{i=1}^m\dim W_i$$

6. לכל תת-קבוצה $\{i_1,\dots ,i_k\}\subseteq \{1,\dots ,m\}$ ולכל וקטורים $w_{i_j}\in W_{i_j}$ השונים מאפס, הקבוצה $\{w_{i_1},\dots ,w_{i_k}\}$ בלתי תלויה ליניארית.

הוכחה

(1) גורר (2): יחידות ההצגה

נניח $W$ סכום ישר ויהי $w=\sum w_i$ הצגה. אם ישנה הצגה נוספת $w=\sum w_i^{\prime }$, נסתכל על

$$\sum _i(w_i-w_i^{\prime })=0$$

לכל $j$ מתקיים $w_j-w_j^{\prime }=-{\sum }_{i\ne j}(w_i-w_i^{\prime })$, ולכן $w_j-w_j^{\prime }\in W_j\cap {\sum }_{i\ne j}{W}_i=\{0\}$. לכן $w_j=w_j^{\prime }$ לכל $j$. ■

(2) גורר (3): יחידות הצגת האפס

זה מיידי: בוחרים $w=0$, ומהיחידות $w_i=0$ לכל $i$. ■

(3) גורר (4): איחוד הבסיסים בסיס של $W$

הקבוצה $B=\bigcup B_i$ פורשת את $W$. נותר להראות בלתי תלות ליניארית: נסמן $B_i=\{w_1^i,\dots ,w_{k_i}^i\}$ ונניח צירוף ליניארי

$$\sum _{l=1}^m\sum _{j=1}^{k_l}{c}_j^l{w}_j^l=0$$

כיוון ש-$B_i$ בסיס ל-$W_i$, הסכום ${\sum }_j{c}_j^i{w}_j^i\in W_i$ לכל $i$. זוהי הצגה של $0$ כסכום מאברי $W_i$, ולכן מ-(3) כל הסכומים מתאפסים, כלומר $c_j^l=0$ לכל $l,j$. ■

(4) גורר (5): סכום המימדים

מסעיף (4), $\bigcup B_i$ בסיס של $W$. מכיוון שהבסיסים $B_i$ זרים זה לזה (בלתי תלויים יחד), מתקיים

$$\dim W=\left|\bigcup B_i\right|=\sum _{i=1}^m|B_i|=\sum _{i=1}^m\dim W_i■$$

(5) גורר (6): וקטורים מתתי מרחבים שונים בלתי תלויים

לכל $i_j$ נשלים את $w_{i_j}$ לבסיס $B_{i_j}$ של $W_{i_j}$, ונבחר בסיסים לכל $W_l$ עבור $l\notin \{i_1,\dots ,i_k\}$. מסעיף (5), איחוד הבסיסים הוא בסיס של $W$, ולכן הוקטורים $w_{i_j}$ (המופיעים בבסיס) בלתי תלויים ליניארית. ■

(6) גורר (1): הסכום ישר

יהי $j$ קבוע ויהי $v\in W_j\cap {\sum }_{i\ne j}{W}_i$ שונה מאפס. ניתן לכתוב $v={\sum }_{i\ne j}{v}_i$ עם $v_i\in W_i$. כיוון ש-$v\in W_j$ ו-$v\ne 0$, הקבוצה $\{v\}\cup \{v_i:v_i\ne 0\}$ מהווה אוסף וקטורים שונים מאפס ממרחבים שונים, אך $v-{\sum }_{i\ne j}{v}_i=0$, בסתירה לתנאי (6). לכן $v=0$. ■

ראה גם

• סכום ישר
• אופרטור לכסין אםם המרחבים העצמיים בסכום ישר
• תת מרחב T-שמור