ראשי

אלגברה לינארית

על הקורס

הקורס עוסק בשאלה: מתי ניתן “לפשט” אופרטור לינארי? הכלי המרכזי הוא לכסון — הצגת האופרטור כהכפלה בסקלרים על צירים עצמיים. כשלכסון אינו אפשרי, פונים לשילוש ולצורת ג’ורדן. התשתית האלגברית היא חוג הפולינומים.

---

1. ערכים עצמיים

השאלה המרכזית: אילו וקטורים $v\ne 0$ מקיימים $Tv=\lambda v$ (רק נמתחים, לא מסתובבים)?

ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים — הגדרות, אלגוריתם חישוב, דוגמה מפורטת.

מציאת ערכים עצמיים:

1. חשב $P_A(x)=\det (xI-A)$ — הפולינום האופייני.
2. מצא שורשי $P_A(x)=0$ — אלה הע”ע.
3. לכל ${\lambda }_i$: פתור $(A-{\lambda }_{i}I)v=0$ — אלה הו”ע.

• הפולינום האופייני — הגדרה, תכונות, $P_A(x)=\det (xI-A)$.
• הפולינום האופייני הוא מתוקן וממעלת המימד — $\mathrm{deg}{P}_A=n$, מקדם מוביל $1$.
• ריבוי אלגברי וריבוי גאומטרי — $m_g(\lambda )\le m_a(\lambda )$ תמיד.

---

2. לכסון

השאלה: מתי קיים בסיס שבו $T$ פועל כהכפלה בסקלרים?

לכסון — הגדרה, אלגוריתם לכסון מלא, ויישום לחישוב חזקות.

שרשרת השקילויות ללכסינות:

האופרטור $T$ לכסין אם ורק אם:

• קיים בסיס של ו”ע (אופרטור לכסין אםם קיים בסיס וקטורים עצמיים)
• המרחב $V=V_{{\lambda }_1}\oplus V_{{\lambda }_2}\oplus \cdots \oplus V_{{\lambda }_k}$ (המרחבים העצמיים הם סכום ישר)
• מתקיים $m_g({\lambda }_i)=m_a({\lambda }_i)$ לכל $i$ (מטריצה לכסינה אםם הריבוי הגאומטרי שווה לריבוי האלגברי)

תנאים מספיקים (לא הכרחיים):

• אם קיימים ערכים עצמיים שונים כגודל הבסיס אז האופרטור לכסין — $n$ ע”ע שונים $\Rightarrow$ לכסין.
• וקטורים עצמיים מערכים עצמיים שונים בלתי תלויים ליניארית — בסיס הוכחות.

מבנה:

• מטריצה אלכסונית — הצורה הפשוטה: $\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$.
• דמיון מטריצות — $A\sim B$ אמ”מ $B=P^{-1}AP$; יחס שקילות.
• אופרטורים ליניאריים ומטריצות דומות — דמיון = אותו אופרטור, בסיס שונה.
• למטריצות דומות יש את אותו הפולינום האופייני — הפולינום האופייני הוא אינווריאנט.
• הריבוי האלגברי גדול מהריבוי הגאומטרי — $m_g\le m_a$ תמיד.
• מטריצה לכסינה אםם הריבוי הגאומטרי שווה לריבוי האלגברי — תנאי אמ”מ.

---

3. שילוש

כשלכסון נכשל: אם $P_A$ אינו מתפצל לחלוטין, לא ניתן ללכסן. אבל תמיד ניתן לשלש (מעל $\mathbb{C}$).

שילושים — הגדרה, שקילות עם פיצול $P_A$, הוכחה אינדוקטיבית.

מטריצה $A$ ניתנת לשילוש אם ורק אם $P_A(x)=(x-{\lambda }_1)\cdots (x-{\lambda }_n)$ מתפצל לגורמים לינאריים. מעל $\mathbb{C}$: תמיד (המשפט הבסיסי של האלגברה). מעל $\mathbb{R}$: לא תמיד (סיבוב ב-$90°$ נותן ע”ע מרוכבים בלבד).

---

4. פולינום מינימלי וקיילי-המילטון

שאלה עמוקה: מהו הפולינום הקטן ביותר $m_A$ שמאפס את $A$?

הפולינום המינימלי — הגדרה, קיום (דרך קיילי-המילטון), יחידות, דוגמאות.

משפט קיילי המילטון — $P_A(A)=0$: כל מטריצה מאפסת את הפולינום האופייני שלה.

ידועים

• $A=2I$: $m_A(x)=x-2$, $P_A(x)=(x-2{)}^n$.
• בלוק ג’ורדן $J_n(\lambda )$: $m_A(x)=(x-\lambda {)}^n$.

הצבת אופרטור בפולינום — הגדרת $f(T)$, תכונת החילופיות $f(T)g(T)=g(T)f(T)$.

---

5. חוג הפולינומים — תשתית אלגברית

מדוע צריך את זה? כדי להבין מתי $P_A$ מתפצל, מה מחלק מה, ומהו הפולינום המינימלי.

מבנה החוג

חוגים — הגדרה, תחום שלמות, הומורפיזמים.

חוג הפולינומים $F[x]$ הוא תחום שלמות עם חלוקה עם שארית, לכן יש בו פריקות יחידה.

כלים

כלי	קישור	תכלית
כפל פולינומים	כפל פולינומים	קונבולוציה, פולינום מתוקן
חלוקה עם שארית	חלוקת פולינומים עם שארית	$f=gq+r$, $\mathrm{deg}r<\mathrm{deg}g$
ממג”ב	מחלק משותף גדול ביותר של פולינומים	קיים ויחיד; ייצוג בזו
אלגוריתם אוקלידס	אלגוריתם אוקלידס למציאת מחלק משותף מקסימלי	חישוב ממג”ב
פריקות יחידה	פריקות יחידה בחוג הפולינומים	כמו $\mathbb{Z}$, אבל לפולינומים
שורשים רציונליים	משפט השורשים הרציונלים	מועמדים $p/q$ עם $p\mid a_0$, $q\mid a_n$
אינטרפולציה (לגראנז’)	אינטרפולציה פולינומילית	פולינום יחיד דרך $n+1$ נקודות

שרשרת הלוגיקה

1. חלוקה עם שארית
2. ממג”ב קיים וניתן לייצוג בזו
3. למה אוקלידית: $p$ אי-פריק ו-$p\mid gh$ $\Rightarrow$ $p\mid g$ או $p\mid h$
4. פריקות יחידה

---

6. סכום ישר, הטלות מקביליות ופירוק פרימרי

השאלה: מתי אפשר לפרק את $V$ לחלקים שעל כל אחד $T$ פועל “בצורה פשוטה”? הכלי הוא פירוק ישר עם הטלות.

סכום ישר

סכום ישר — הגדרה: $V=V_1\oplus \cdots \oplus V_k$ אם כל $v\in V$ מיוצג יחיד כ-$\sum v_i$.

תנאים שקולים לסכום ישר — שקילויות שימושיות לבדיקת פירוק ישר.

תת-מרחבים שמורים

תת מרחב T-שמור — $W$ הוא $T$-שמור אם $Tw\in W$ לכל $w\in W$. מאפשר להסתכל על $T{|}_W$ כאופרטור עצמאי. כאשר:

$$V=⨁V_i$$

ו-$T$-שמור, המטריצה של $T$ היא בלוק-אלכסונית.

הטלות מקביליות

הטלה מקבילית — נתון פירוק:

$$V=⨁V_i$$

ההטלה $P_i$ “מוציאה” את הרכיב ה-$i$. מקיים: $P_i^2=P_i$, $P_i{P}_j=0$ ל-$i\ne j$, וכן $\sum P_i=\mathrm{Id}$.

אפיון חדש ללכסינות:

אופרטור לכסין אםם צירוף הטלות מקביליות — האופרטור $T$ לכסין אם ורק אם קיים פירוק:

$$V=⨁W_i$$

וסקלרים $c_i$ כך ש: $T={\sum }_{i=1}^k{c}_i{P}_i$

משפט הפירוק הפרימרי ⭐

משפט הפירוק הפרימרי — המשפט המרכזי. נתון $f(T)=0$ עם $f=\prod g_i$ (הגורמים זרים בזוגות), אז: $V=\ker g_1(T)\oplus \ker g_2(T)\oplus \cdots \oplus \ker g_n(T)$ כאשר כל תת-מרחב הוא $T$-שמור וכל הטלה מקבילית היא פולינום ב-$T$.

מה זה נותן?

כאשר $f=m_T$ (הפולינום המינימלי) והגורמים הם גורמיו האי-פריקים, מתקבל פירוק קנוני של $V$ שהוא הבסיס לצורת ז’ורדן.