התכנסות טורים

הגדרה בסיסית

תהי ${a_{n}}$ סדרה. הביטוי $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ נקרא טור אינסופי. לטור זה מתאימה סדרת סכומים חלקיים (סס”ח):

S_{n} = k = 1 \sum n a_{k}

הטור $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ מתכנס אם סדרת הסכומים החלקיים $S_{n}$ מתכנסת לגבול סופי $S$ . במקרה זה נכתוב:

n = 1 \sum \infty a_{n} = S = n \to \infty lim S_{n}

אם הגבול לא קיים במובן הצר, הטור מתבדר.

טור $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ נקרא טור חיובי אם $a_{n} \geq 0$ לכל $n$ .

הערה: עבור טור חיובי, $S_{n}$ מונוטונית עולה, לכן $S_{n}$ מתכנסת אם ורק אם היא חסומה מלעיל.

מבחן ההשוואה הראשון: $0 \leq b_{n} \leq a_{n}$ — אם $\sum a_{n}$ מתכנס אז $\sum b_{n}$ מתכנס
מבחן ההשוואה השני: $α \leq \frac{a _{n}}{b _{n}} \leq β$ — המנות חסומות
מבחן ההשוואה הגבולי: $lim \frac{a _{n}}{b _{n}}$ קיים וסופי
מבחן ההשוואה למנות הסדרה: $\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} \leq \frac{b _{n + 1}}{b _{n}}$
מבחן קושי להתכנסות טורים חיוביים: $n a_{n} < q < 1$
מבחן המנה של דאלמבר (בניסוח גבולי): $lim sup \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} < 1$
מבחן העיבוי: $\sum 2^{n} a_{2^{n}}$

אם טור מתכנס בהחלט אז הוא מתכנס: התכנסות בהחלט גוררת התכנסות.

מבחן לייבניץ: לטורים מתחלפי סימן $\sum (- 1)^{n} a_{n}$ עם $a_{n} ↘ 0$ .
קריטריון קושי: $\sum a_{n}$ מתכנס $⟺$ לכל $ε > 0$ יש $N$ כך שלכל $m > n > N$ : $\sum_{k = n + 1}^{m} a_{k} < ε$ .

טור גיאומטרי: עבור $∣ q ∣ < 1$ מתקיים:

n = 0 \sum \infty q^{n} = \frac{1}{1 - q}

ומתבדר עבור $∣ q ∣ \geq 1$ .

טור טלסקופי: מתקיים:

n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ( n + 1 )} = n = 1 \sum \infty (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) = 1

הטור ההרמוני מתבדר: הטור:

n = 1 \sum \infty \frac{1}{n}

מתבדר, אף שמקיים $\frac{1}{n} \to 0$ .

הסדרה $a_{n} = (- 1)^{n}$ : מתבדרת — $S_{n}$ נעה בין $0$ ל- $- 1$ .