נושאים

תרגיל 1

יהיו סדרות $a_{n}$ ו $b_{n}$ כך ש $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ מתכנס ולכל $n$ מתקיים $∣ b_{n} - b_{n - 1} ∣ < a_{n}$ הוכיחו כי הסדרה $b_{n}$ מתכנסת. הסיקו ש $\sum_{n}^{\infty} \frac{1}{n}$ מתבדר

פתרון

יהי $ε > 0$ נמצא

∣ b_{m} - b_{n} ∣ = ∣ b_{m} - b_{m - 1} + b_{m - 1} - \dots - b_{n} ∣ \leq k = n + 1 \sum m ∣ b_{k} - b_{k - 1} ∣ \leq n = 1 \sum \infty a_{n}

הסקה

נמצא $b_{n}$ כך ש $∣ b_{n} - b_{n - 1} ∣ \leq \frac{1}{n - 1}$ ו $b_{n}$ מתבדרת ונקבל שהטור $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$ מתבדר גם כן. אז נבחר $b_{n} = ln (n)$ כלומר $b_{n} - b_{n - 1} = ln (1 + \frac{1}{n - 1}) < \frac{1}{n - 1}$ כמו שרצינו.

תרגיל 2

סעיף א

זהו טור טלסקופי $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n ^{2} - n} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n ( n - 1 ) } \to L = \frac{1}{2} $

סעיף ב

הטור $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n ^{2}}$ , נשתמש במבחן ההשוואה הגבולי

n \to \infty lim \frac{\frac{1}{n ^{2}}}{\frac{1}{n ^{2} - n}} = n \to \infty lim = \frac{n ^{2} - n}{n ^{2}} = 1

ולכן הטור $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n ^{2}}$ מתכנס יחד עם הטור $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n ^{2} - n}$

הערה

חישוב הסכום של $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n ^{2}}$ נקראת בעיית באסל והראשון שפתר אותה הוא אויילר, בצורה לא פורמלית, הסכום הוא $\frac{π ^{2}}{6}$

סעיף ג

הטור

n = 1 \sum \infty \frac{ln ( n )}{n ^{5​​ + c o s (n) + \frac{s i n ( \frac{1}{n} )}{\frac{1}{n} ​} ​}} ​

נזכר ש $ln (n) < n$ בנוסף $cos (n) < 1$ ו $\frac{s i n ( \frac{1}{n} )}{\frac{1}{n}} > \frac{1}{2}$ ממקום מסוים (כי שואף ל $1$ )

\frac{ln ( n )}{n ^{5​​ + c o s (n) + \frac{s i n ( \frac{1}{n} )}{\frac{1}{n} ​} ​}} \leq \frac{n}{n ^{5​​ - 1 + \frac{1}{2}}} \leq \frac{1}{n ^{2}} ​

לכן על פי מבחן ההשוואה הראשון הטור המקורי מתכנס.

סעיף ד

הטור $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n ^{n - 2}}{e ^{n} n !}$ נשתמש במבחן ההשוואה למנות הסדרה

\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = \frac{( n + 1 ) ^{n - 1}}{e ^{n + 1} ( n + 1 )!} \cdot \frac{e ^{n} n !}{n ^{n - 2}} = \frac{( n + 1 ) ^{n - 2}}{e n ^{n - 2} ​} = \frac{1}{e} \cdot (\frac{n + 1}{n})^{n} \cdot (\frac{n}{n + 1})^{2} \leq ​

\leq (\frac{n}{n + 1})^{2} = \frac{\frac{1}{( n + 1 ) ^{2}}}{\frac{1}{n ^{2}}}

סעיף ו

הטור $\sum_{n = 1}^{\infty} n a - 1$ . נכתוב מחדש

n a - 1 = a^{\frac{1}{n}} - 1

תרגילים

הטור $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{n + 2 ^{n}}$ נשתמש במבחן קושי להתכנסות טורים חיוביים בגרסה הגבולית

n a_{n} ​ = \frac{n n}{n n + 2 ^{n} ​ ​} ​

ויקי מתמטיקה

סייר

תרגול אינפי 23.4