ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים

הגדרות

תהי $A \in M_{n} (F)$ מטריצה (או $T : V \to V$ אופרטור ליניארי), $λ \in F$ סקלר.

וקטור $v \neq = 0$ נקרא וקטור עצמי של $A$ עם ערך עצמי $λ$ אם:

A v = λ v

המרחב העצמי של $λ$ מוגדר:

V_{λ} := {v \in V : A v = λ v} = ker (A - λ I)

זהו תת-מרחב של $V$ .

הסקלר $λ$ נקרא ערך עצמי (ע”ע) של $A$ אם $V_{λ} \neq = {0}$ , כלומר אם $ker (A - λ I)$ אינו טריוויאלי.

הספקטרום $σ (A)$ הוא אוסף כל הערכים העצמיים של $A$ .

מתקיים:

λ ערך עצמי של A ⟺ A - λ I לא הפיכה ⟺ det (A - λ I) = 0

זו הסיבה שמוצאים ערכים עצמיים על ידי פתרון המשוואה האופיינית: $P_{A} (λ) = det (A - λ I) = 0$ .

$0$ ערך עצמי: $0 \in σ (A)$ $⟺$ $A$ אינה הפיכה ( $det A = 0$ ).
בלתי תלות: וקטורים עצמיים מערכים עצמיים שונים בלתי תלויים ליניארית — וקטורים עצמיים מערכים עצמיים שונים בת”ל ליניארית.
מרחב עצמי כגרעין: $V_{λ} = ker (T - λ \cdot Id)$ .

מציאת ע”ע: פותרים $P_{A} (λ) = det (A - λ I) = 0$ .
מציאת מרחב עצמי: עבור כל ע”ע $λ$ , מחשבים $ker (A - λ I)$ (פותרים $(A - λ I) v = 0$ ).

תהי $A = (2013)$ : $P_{A} (λ) = (2 - λ) (3 - λ)$ , ולכן $σ (A) = {2, 3}$ .

ולכן $V_{2} = ker (0011) = span {(10)}$ , $V_{3} = ker (- 1 0 10) = span {(11)}$ .