טור חזקות

הגדרה

טור חזקות הוא טור מהצורה:

n = 0 \sum \infty a_{n} x^{n}

כאשר $a_{n} \in R$ הם מקדמי הטור ו- $x$ הוא משתנה ממשי.

תחום ההתכנסות של טור חזקות הוא קבוצת ערכי $x$ עבורם הטור מתכנס:

D = {x \in R : n = 0 \sum \infty a_{n} x^{n} מתכנס}

הערה: טור חזקות תמיד מתכנס ב- $x = 0$ (כל איבר מלבד $a_{0} \cdot 0^{0}$ מתאפס), לכן $D \neq = \emptyset$ .

לפי התכנסות בהחלט בתחום הפנימי של טור חזקות, תחום ההתכנסות הוא תמיד קטע סימטרי סביב $0$ . לכן קיים $R \in [0, \infty]$ יחיד, הנקרא רדיוס ההתכנסות, כך שהטור מתכנס בהחלט בתוך $(- R, R)$ ומתבדר מחוצה לו. ראו משפט קושי-הדמרד.

חישוב רדיוס ההתכנסות:

R = \frac{1}{lim sup _{n \to \infty} n ∣ a _{n} ∣}

כאשר $R = \infty$ אם $lim sup = 0$ , ו- $R = 0$ אם $lim sup = \infty$ .

כאשר הגבול $lim_{n \to \infty} \frac{a _{n + 1}}{a _{n}}$ קיים, מתקיים גם (רדיוס ההתכנסות לפי מבחן המנה):

R = \frac{1}{lim _{n \to \infty} \frac{a _{n + 1}}{a _{n}}}

טור חזקות סביב נקודה $x_{0}$ הוא טור מהצורה:

n = 0 \sum \infty a_{n} (x - x_{0})^{n}

קיים $R \in [0, \infty]$ כך שהטור מתכנס בהחלט בקטע $(x_{0} - R, x_{0} + R)$ ומתבדר מחוץ לו.

נתון טור חזקות עם $R > 0$ , הפונקציה $f : (- R, R) \to R$ המוגדרת על ידי:

f (x) = n = 0 \sum \infty a_{n} x^{n}

היא גזירה בכל הקטע, ונגזרתה מתקבלת על ידי גזירה איבר-איבר. ראו גזירה איבר איבר של טורי חזקות.