איזומורפיזם

איזומורפיזם של קבוצות סדורות

הגדרה

תהיינה $(X_1,{<}_1),(X_2,{<}_2)$ קבוצות סדורות קווית. העתקה $f:X_1\to X_2$ היא איזומורפיזם אם:

1. $f$ חד-חד-ערכית ועל.
2. שמירת סדר: $x_1{<}_1{x}_2⟺f(x_1){<}_{2}f(x_2)$.

אם קיים איזומורפיזם בין $X_1$ ל-$X_2$ נכתוב $X_1\cong X_2$ ונאמר שהן איזומורפיות.

הערה: שומרת סדר גוררת חד-חד-ערכיות

אם $f:X_1\to X_2$ שומרת סדר ו-$X_1$ סדורה קווית, אז $f$ חח”ע אוטומטית.

הוכחה: נניח $f(x_1)=f(x_2)$. מההשוואה ב-$X_1$: או $x_1<x_2$ או $x_1>x_2$ או $x_1=x_2$. אם $x_1<x_2$ אז $f(x_1)<f(x_2)$ בסתירה. לכן $x_1=x_2$.

תכונות שנשמרות תחת איזומורפיזם

1. קיום מינימום/מקסימום.
2. צפיפות.
3. חסר קצוות.
4. שלמות.

הוכחה לשמירת מינימום: יהי $m\in X_2$ מינימום. $f$ על, לכן $\exists a\in X_1:f(a)=m$. אם $\exists b<a$, אז $f(b)<f(a)=m$ — סתירה. $\square$

ראה גם

• קבוצה סדורה קווית
• משפט קנטור
• השלמות דדקינד של קבוצות איזומורפיות הן איזומורפיות